Why K? High order singularities and small scale yielding

Abstract

Singular terms in the crack tip elastic stress field of order a ,,, r -3/2, r-5/2,.., are often neglected, thus rationalizing the use of the K field, tr ,,~ r -112, as the dominant term for fracture mechanics. We find the common explanation for neglecting the more singular terms in the series solution for the crack tip stress field unsatisfying. Further, the more singular terms are non-zero and are needed to understand the energetics of fracture, i.e, J and ~. Given that the singular terms are generally present, the rationale for the validity of the small scale yielding assumption (the basis of linear elastic fracture) is more subtle than any argument which depends on the elimination of terms with stress a ,,~ r -3/2, r-5/2,.... Our explanation for the validity of small scale yielding is as follows. First, with or without small scale yielding, the stress field outside of the nonlinear zone does contain more singular terms. In the limit as the nonlinear zone at the crack tip shrinks to zero size (SSY) we show that the r-J/2 term in the Williams expansion dominates both the more singular and the non-singular terms in an annular region somewhat removed from this zone. Further, in this limit the magnitude of the a ,,, r -1/2 term is almost entirely determined by tractions on the outer boundary. Our theory and examples are for representative problems in mode III anti-plane shear fracture. We expect, however, that the general results also apply to mode I and mode II fracture.

Singular stress fields at corners in flip-chip packages

“…For a linearly elastic bimaterial with traction prescribed on the boundary, Dundurs [15] demonstrated that the stress field depends on elastic constants through two dimensionless parameters: and Ruina [24] and Labossiere and Dunn [25].…”

Собственные Значения В Задаче О Трещине Антиплоского Сдвига В Материале Со Степенным Определяющим Законом

“…Од-нако сейчас признана необходимость отыскания всего спектра собственных чисел задачи, и этой проблеме посвящается большое количество работ [3][4][5][6]11]. К сожалению, до сих пор не найдена аналитическая зависимость собственного значения от показателя степени определяю-щего уравнения (и, например, от собственного значения, отвечающего линейной задаче) для трещин типов I и II.…”

“…УДК 539.376 В последнее время в современной механике разрушения особый интерес вызывает пробле-ма исследования собственных значений в классической задаче нелинейной механики разруше-ния -задаче Хатчинсона-Райса-Розенгрена (HRR) [1][2][3][4][5][6]. Речь идет об исследовании напря-женно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в материале со степен-ным определяющим законом.…”

Анализ Собственных Значений В Задаче О Трещине Поперечного Сдвига В Материале Со Степенным Определяющим Законом

“…Так, например, в [6] отмечает-ся, что в большинстве работ пренебрегают слагаемыми более высоких порядков вида r [7,8] при исследовании упругопластических за-дач. Если существует область пластического течения, охватывающая вершину трещины, то полное решение вне области пластического течения должно содержать слагаемые более высо-ких порядков.…”

“…Если существует область пластического течения, охватывающая вершину трещины, то полное решение вне области пластического течения должно содержать слагаемые более высо-ких порядков. В [6] обсуждается справедливость ряда традиционных гипотез, принимаемых при изучении задач о трещинах в упругопластических материалах, а именно, предположение о маломасштабном пластическом течении. Авторы данной работы приходят к заключению, что в полном решении в упругой области слагаемые более высоких порядков малости r − 3 2 должны учитываться в решении задачи и ими нельзя пренебрегать.…”