Well-posedness of the water-waves equations

Abstract

We prove that the water-waves equations (i.e., the inviscid Euler equations with free surface) are well-posed locally in time in Sobolev spaces for a fluid layer of finite depth, either in dimension 2 2 or 3 3 under a stability condition on the linearized equations. This condition appears naturally as the Lévy condition one has to impose on these nonstricly hyperbolic equations to insure well-posedness; it coincides with the generalized Taylor criterion exhibited in earlier works. Similarly to what happens in infinite depth, we show that this condition always holds for flat bottoms. For uneven bottoms, we prove that it is satisfied provided that a smallness condition on the second fundamental form of the bottom surface evaluated on the initial velocity field is satisfied. We work here with a formulation of the water-waves equations in terms of the velocity potential at the free surface and of the elevation of the free surface, and in Eulerian variables. This formulation involves a Dirichlet-Neumann operator which we study in detail: sharp tame estimates, symbol, commutators and shape derivatives. This allows us to give a tame estimate on the linearized water-waves equations and to conclude with a Nash-Moser iterative scheme.

Nonlinear Stability of the Current‐Vortex Sheet to the Incompressible MHD Equations

“…The proof is standard by using the Lax-Milgram theorem and the regularity theory for elliptic equations (see [8,15], for example).…”

Global solutions for the gravity water waves equation in dimension 3

“…There are many other works on local well posedness. We mention the work of W. Craig [Cra85], T. J. Beal, T. Hou, and J. Lowengrub [BHL93], M. Ogawa and A. Tani [OT02], G. Schneider and E. C. Wayne [SW02], D. Lannes [Lan05], D. Ambrose and N. Mamoudi [AM07], [AM09], and P. Zhang and Z. Zhang [ZZ08]. We also mention that for the full system (E), there are well posedness results given by D. Christodoulou and H. Lindblad [CL00], D. Coutand and S. Shkoller [CS07], and J. Shatah and C. Zeng [SZ08].…”

Математические Аспекты Поверхностных Волн На Воде

“…Среди более поздних результатов упомянем работу [16] о существовании решения для начального объема жидкости достаточно произвольной формы (конечно, на коротком интервале времени), а также работы [17] и [18], где на-метился прогресс для начальной задачи в пространстве размерности три (и даже больше). Проблема 1.…”

“…Были построены также примеры трех-мерных (и при d > 3) кратно-периодических решений. Различные подходы к начальной задаче используют разные системы координат, в том числе лагран-жевы координаты [5], координаты, получаемые при конформных отображениях объема жидкости (d = 2, [19] и [6]), и эйлеровы координаты [18]. К настоящему моменту последняя упомянутая работа ближе всего к рассматриваемой про-блеме.…”

“…Все перечисленные выше работы относятся к случаю d = 2. Первые результаты для d = 3 появились в работе [31], где, следуя [18], доказаны теоре-мы существования решений начальной задачи для волн на водной поверхности в трех измерениях и, кроме того, приведены результаты о сходимости класса модельных уравнений длинных волн, которые связаны с приближением Бусси-неска для случая d = 2.…”