Weakly convex and proximally smooth sets in Banach spaces

Gradient Projection and Conditional Gradient Methods for Constrained Nonconvex Minimization

“…However our problem (1) deals with non-convex admissible set Q. We consider a special version of the FW method for our problem as a limiting version of the gradient projection method (6). Indeed suppose that the function f (x) is approximately linear (see (23) below) on the set Q = S 1 , i.e., informally, constant L 1 is small enough in comparison with other parameters.…”

Связность И Солнечность В Задачах Наилучшего И Почти Наилучшего Приближения

“…М. Ламберт [88], А. В. Маринов [159]- [161], П. Шварцман [190], М. В. Балашов и Д. Реповш [34], К. В. Чеснокова [82] и др. ), приближении ганкелевыми матрицами, а также в выпуклом анализе -к примеру, при исследовании функции Моро и связанного с ней свойства проксрегулярности множеств и функций, которое является локальным вариантом свойства проксимальной гладкости и играет 14 А. Р. АЛИМОВ, И. Г. ЦАРЬКОВ важную роль (как в теоретическом, так и в вычислительном аспекте) в оптимизации, вариационном анализе, нелинейном анализе и задачах восстановления сигналов (Р. А. Поликвин и Р. Т. Рокафеллар [177], Ф. Бернард и Л. Тибо [46], Б. Ричери [184], М. В. Балашов, Г. Е. Иванов [33], A. Журани, Л. Тибо, Д. Загродны [130], В. Н. Соловьев [195] и др.). В связи с вышесказанным стоит также отметить обзор В. М. Тихомирова [200], в котором, в частности, подробно раскрывается роль геометрической теории приближений в задачах теории приближения функций, выпуклом анализе и других областях математики, а также обзоры [222], [32], [132], [141].…”

Weakly convex sets and modulus of nonconvexity

“…Now we put n = n + 1, a n = w and again consider cases (1) or (2). If the case (2) does not take place for all natural n, then we obtain from the construction of the points {a n } that the sequence l n = a n − b π satisfies the condition 0 ≤ l n+1 ≤ ln 2 + γ(l n ) + α n < l n .…”

“…E x a m p l e 1.1. Let E = H be the Hilbert space and δ H (ε) = 1 − 1 − ε 2 4 be the modulus of convexity of H. A weakly convex subset A ⊂ H with modulus γ A (ε) = dδ H (ε/d), ε ∈ [0, d), d > 0, is weakly convex in the sense of Vial with constant d and proximally smooth with constant d (see [6,7,8,10,19], in particular [2]). These three properties are equivalent in the Hilbert space.…”

“…The relationship between weak convexity in the sense of Vial and proximal smoothness of a set in a Banach space is much more complicated (see [2] for details).…”