Variable hilbert scales and their interpolation inequalities with applications to tikhonov regularization

Hegland, Markus

doi:10.1080/00036819508840400

Cited by 53 publications

(62 citation statements)

References 13 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…В. И. Ов-чинников [208] описал с помощью интерполяции с функциональным параметром все гильбертовы пространства, интерполяционные относи-тельно заданной пары гильбертовых пространств. Отметим, что в ряде приложений такую интерполяцию именуют методом переменных гиль-бертовых шкал; см., например, работы М. Хегланда [169,170], П. Матэ и У. Тотенхана [193].…”

Section: примечания и комментарииunclassified

“…Эти и другие результаты показывают сколь полезной и удоб-ной может быть уточненная шкала. Ее можно использовать также и в других областях современного анализа (см., например, работы П. Матэ и У. Тотенхана [193], М. Хегланда [169,170]). …”

Section: Introductionunclassified

See 1 more Smart Citation

Hörmander Spaces, Interpolation, and Elliptic Problems

Mikhailets¹,

Murach²

2014

169

View full text Add to dashboard Cite

Гл. 1. Интерполяция и пространства Хермандера ли пространства X 0 , X 1 сепарабельны и справедливо непрерывное плотное вложение X 1 ֒→ X 0 .Пусть задана допустимая пара X = [X 0 , X 1 ] гильбертовых пространств. Как известно [41, c. 22; 116, c. 251], для X суще-ствует такой изометрический изоморфизм J : X 1 ↔ X 0 , что J является самосопряженным положительно определенным опера-тором в пространстве X 0 с областью определения X 1 . Оператор J называется порождающим для пары X. Этот оператор определя-ется парой X однозначно. В самом деле, пусть оператор J 1 также порождающий для пары X. Тогда операторы J и J 1 метрически равны: Ju X 0 = u X 1 = J 1 u X 0 для любого u ∈ X 1 . Кроме того, эти операторы положительно определены. Отсюда следует, что они равны:плотное линейное многообразие в пространстве X 0 . Интерполяция с функциональным параметром 23Замечание 1.1. Пусть функции ϕ, ψ ∈ B такие, что ϕ ≍ ψ в окрестности ∞. Тогда в силу определения множества B справед-ливо ϕ ≍ ψ на Spec J. Следовательно, X ϕ = X ψ с точностью до эквивалентности норм. (Как обычно, выражение ϕ ≍ ψ означа-ет, что обе функции ϕ/ψ и ψ/ϕ ограничены на соответствующем множестве; при этом функции ϕ и ψ предполагаются положитель-ными.)Иначе говоря, параметр ψ интерполяционный тогда и только тогда, когда отображение X → X ψ является интерполяционным функтором, заданным на категории допустимых пар X гильбер-товых пространств [9, с. 41; 112, c. 18]. Если параметр ψ интер-поляционный, то будем говорить, что пространство X ψ получе-но интерполяцией с функциональным параметром ψ допустимой пары X.Далее мы исследуем основные свойства отображения X → X ψ . Вложения пространствИзучим некоторые свойства интерполяции, связанные с вло-жениями пространств.допустимая пара гильбертовых пространств. Тогда верны непрерывные плотные вложения X 1 ֒→ X ψ ֒→ X 0 .Доказательство. В силу сказанного выше осталось дока-зать существование непрерывного плотного вложения X 1 ֒→ X ψ . 24 Гл. 1. Интерполяция и пространства ХермандераРассмотрим ограниченные операторы вложения I : X 1 → X 0 и I : X 1 → X 1 . Поскольку параметр ψ интерполяционный, они вле-кут ограниченность оператора вложения I : X 1 → X ψ , т. е. непре-рывность вложения X 1 ֒→ X ψ .Докажем его плотность. Возьмем произвольное u ∈ X ψ . То-Остается заметить, чтоТеорема 1.1 доказана.Теорема 1.2. Пусть функции ψ, χ ∈ B такие, что функция ψ/χ ограничена в окрестности ∞. Тогда для каждой допусти-мой пары X = [X 0 , X 1 ] гильбертовых пространств справедли-во непрерывное и плотное вложение X χ ֒→ X ψ . Если вложение X 1 ֒→ X 0 компактно и ψ(t)/χ(t) → 0 при t → ∞, то вложение X χ ֒→ X ψ также компактно.Доказательство. Пусть J порождающий оператор для па-ры X. Заметим, что Spec J ⊆ [r, ∞) для некоторого числа r > 0. По условию ψ(t)/χ(t) ≤ c при t ≥ r, следовательно,Отсюда на основании определения пространств X χ и X ψ получаем непрерывность вложения X χ ֒→ X ψ . Докажем его плотность. Рассмотрим изометрические изоморфизмы ψ(J) :Тем самым доказана плотность вложения X χ ֒→ X ψ . Предположим теперь, что вложениеПусть E t ,...

show abstract

Section: примечания и комментарииunclassified

Section: Introductionunclassified

Hörmander Spaces, Interpolation, and Elliptic Problems

Mikhailets¹,

Murach²

2014

169

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…There is substantial literature devoted to inverse problems with operators acting along Hilbert scales. We mention Natterer [25], Neubauer [26], Mair [20], Hegland [14], Tautenhahn [36], and Dicken and Maass [8]. These papers studied only problems with deterministic noise.…”

Section: This Corresponds To (13) With Designmentioning

confidence: 99%

Optimal Discretization of Inverse Problems in Hilbert Scales. Regularization and Self-Regularization of Projection Methods

Mathé¹,

Pereverzev²

2001

SIAM J. Numer. Anal.

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. We study the efficiency of the approximate solution of ill-posed problems, based on discretized noisy observations, which we assume to be given beforehand. A basic purpose of the paper is the consideration of stochastic noise, but deterministic noise is also briefly discussed. We restrict ourselves to problems which can be formulated in Hilbert scales. Within this framework we shall quantify the degree of ill-posedness, provide general conditions on projection schemes to achieve the best possible order of accuracy. We pay particular attention on the problem of self-regularization vs. Tikhonov regularization.Moreover, we study the information complexity. Asymptotically, any method which achieves the best possible order of accuracy must use at least such amount of noisy observations. Key words. ill-posed problems, inverse estimation, operator equations, Gaussian white noise, information complexity AMS subject classifications. 62G05, 65J10PII. S003614299936175X1. Introduction and statement of the main problem. We study optimal discretizations of ill-posed problems in Hilbert scales. On the class of problems, which will be introduced in section 2, the best order of accuracy for a given noise level is well known. But this quantity does not take into account any discretization. Therefore we address two issues. First, can this best possible order of accuracy be achieved by discretized regularization methods? More precisely, we aim at presenting general conditions, which allow us to achieve this best possible order. This is made explicit for convergence analysis of corresponding schemes of Tikhonov regularization as well as for regularization by projection methods, self-regularization. In particular we pay attention to the limitations of self-regularization and indicate how these naturally occur when the design is given beforehand.A second issue to be addressed concerns the size, say, N = N (δ) of the design, necessary for a given noise level δ > 0, to enable best order of accuracy. This may be understood as the information complexity of the problem, since, in the asymptotic setting, no numerical method can achieve the best order of accuracy using fewer noisy observations. We establish the asymptotic behavior N (δ), δ → 0.We shall study ill-posed problems, where we wish to recover some element x from some real Hilbert space X from indirectly observed data near y = Ax, where A is some injective compact linear operator acting in a real Hilbert space Y . For the sake of convenience we will assume that X = Y , which can be obtained by isometries. Such linear inverse problems often arise in scientific context, ranging from stereological

show abstract

“…Conditional stability estimates by using interpolation [24,25]. Such inequalities which extend the classical interpolation inequality became a powerful tool in the analysis of regularization under general smoothness conditions, see, e.g., [7,26,28,40,41,42,45,46,47,56,61].…”

Section: Lemma 11 Let M ⊂ X Be Such That ω(δ M) Defined By (12) Imentioning

confidence: 99%

Conditional Stability Estimates for Ill-Posed PDE Problems by Using Interpolation

Tautenhahn

Hämarik

Hofmann

et al. 2013

Numerical Functional Analysis and Optimization

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. The focus of this paper is on conditional stability estimates for illposed inverse problems in partial differential equations. Conditional stability estimates have been obtained in the literature by a couple different methods. In this paper we propose a method called interpolation method, which is based on interpolation in variable Hilbert scales. We are going to work out the theoretical background of this method and show that optimal conditional stability estimates are obtained. The capability of our method is illustrated by a comprehensive collection of different inverse and ill-posed PDE problems containing elliptic and parabolic problems, one source problem and the problem of analytic continuation.

show abstract

Variable hilbert scales and their interpolation inequalities with applications to tikhonov regularization

Cited by 53 publications

References 13 publications

Hörmander Spaces, Interpolation, and Elliptic Problems

Hörmander Spaces, Interpolation, and Elliptic Problems

Optimal Discretization of Inverse Problems in Hilbert Scales. Regularization and Self-Regularization of Projection Methods

Conditional Stability Estimates for Ill-Posed PDE Problems by Using Interpolation

Contact Info

Product

Resources

About