Гл. 1. Интерполяция и пространства Хермандера ли пространства X 0 , X 1 сепарабельны и справедливо непрерывное плотное вложение X 1 ֒→ X 0 .Пусть задана допустимая пара X = [X 0 , X 1 ] гильбертовых пространств. Как известно [41, c. 22; 116, c. 251], для X суще-ствует такой изометрический изоморфизм J : X 1 ↔ X 0 , что J является самосопряженным положительно определенным опера-тором в пространстве X 0 с областью определения X 1 . Оператор J называется порождающим для пары X. Этот оператор определя-ется парой X однозначно. В самом деле, пусть оператор J 1 также порождающий для пары X. Тогда операторы J и J 1 метрически равны: Ju X 0 = u X 1 = J 1 u X 0 для любого u ∈ X 1 . Кроме того, эти операторы положительно определены. Отсюда следует, что они равны:плотное линейное многообразие в пространстве X 0 .
Интерполяция с функциональным параметром
23Замечание 1.1. Пусть функции ϕ, ψ ∈ B такие, что ϕ ≍ ψ в окрестности ∞. Тогда в силу определения множества B справед-ливо ϕ ≍ ψ на Spec J. Следовательно, X ϕ = X ψ с точностью до эквивалентности норм. (Как обычно, выражение ϕ ≍ ψ означа-ет, что обе функции ϕ/ψ и ψ/ϕ ограничены на соответствующем множестве; при этом функции ϕ и ψ предполагаются положитель-ными.)Иначе говоря, параметр ψ интерполяционный тогда и только тогда, когда отображение X → X ψ является интерполяционным функтором, заданным на категории допустимых пар X гильбер-товых пространств [9, с. 41; 112, c. 18]. Если параметр ψ интер-поляционный, то будем говорить, что пространство X ψ получе-но интерполяцией с функциональным параметром ψ допустимой пары X.Далее мы исследуем основные свойства отображения X → X ψ .
Вложения пространствИзучим некоторые свойства интерполяции, связанные с вло-жениями пространств.допустимая пара гильбертовых пространств. Тогда верны непрерывные плотные вложения X 1 ֒→ X ψ ֒→ X 0 .Доказательство. В силу сказанного выше осталось дока-зать существование непрерывного плотного вложения X 1 ֒→ X ψ .
24
Гл. 1. Интерполяция и пространства ХермандераРассмотрим ограниченные операторы вложения I : X 1 → X 0 и I : X 1 → X 1 . Поскольку параметр ψ интерполяционный, они вле-кут ограниченность оператора вложения I : X 1 → X ψ , т. е. непре-рывность вложения X 1 ֒→ X ψ .Докажем его плотность. Возьмем произвольное u ∈ X ψ . То-Остается заметить, чтоТеорема 1.1 доказана.Теорема 1.2. Пусть функции ψ, χ ∈ B такие, что функция ψ/χ ограничена в окрестности ∞. Тогда для каждой допусти-мой пары X = [X 0 , X 1 ] гильбертовых пространств справедли-во непрерывное и плотное вложение X χ ֒→ X ψ . Если вложение X 1 ֒→ X 0 компактно и ψ(t)/χ(t) → 0 при t → ∞, то вложение X χ ֒→ X ψ также компактно.Доказательство. Пусть J порождающий оператор для па-ры X. Заметим, что Spec J ⊆ [r, ∞) для некоторого числа r > 0. По условию ψ(t)/χ(t) ≤ c при t ≥ r, следовательно,Отсюда на основании определения пространств X χ и X ψ получаем непрерывность вложения X χ ֒→ X ψ . Докажем его плотность. Рассмотрим изометрические изоморфизмы ψ(J) :Тем самым доказана плотность вложения X χ ֒→ X ψ . Предположим теперь, что вложениеПусть E t ,...
