Vanishing of the first reduced cohomology with values in an L^p-representation

Abstract

Abstract. -We prove that the first reduced cohomology with values in a mixing L p -representation, 1 < p < ∞, vanishes for a class of amenable groups including connected amenable Lie groups. In particular this solves for this class of amenable groups a conjecture of Gromov saying that every finitely generated amenable group has no first reduced p -cohomology. As a byproduct, we prove a conjecture by Pansu. Namely, the first reduced L p -cohomology on homogeneous, closed at infinity, Riemannian manifolds vanishes. We also prove that a Gromov hyperbolic geodesic metric measure space with bounded geometry admitting a bi-Lipschitz embedded 3-regular tree has non-trivial first reduced L p -cohomology for large enough p. Combining our results with those of Pansu, we characterize Gromov hyperbolic homogeneous manifolds: these are the ones having non-zero first reduced L p -cohomology for some 1 < p < ∞.Résumé. -Nous prouvons que pour une classe de groupes moyennables, incluant tous les groupes moyennables de Lie connexes, la cohomologie réduite en degré 1 à valeurs dans une représentation mélangeante sur un espace L p , pour p > 1, est nulle. En particulier, cela démontre pour cette classe de groupes moyennables une conjecture de Gromov s'appliquant à tous les groupes de type fini moyennables. Nous obtenons également la version "de Lie" de cette conjecture, qui avait été formulée par Pansu. Nous montrons par ailleurs qu'un espace métrique hyperbolique possédant un arbre 3-regulier quasi-isométriquement plongé a un premier groupe de cohomologie L p réduite non trivial pour p assez grand. Finalement, en combinant nos résultats avec ceux de Pansu, nous obtenons une caractérisation des variétés riemanniennes homogènes hyperboliques au sens de Gromov : ce sont celles qui possèdent de la cohomologie L p réduite en degré 1 pour p assez grand.

Cohomologie L p en degré 1 des espaces homogènes

“…Un résultat récent de R. Tessera [20] affirme que, pour un groupe de Lie résoluble unimodulaire, R 1, p (M) = 0. Cela permet de compléter le Théorème 3 comme suit.…”

Contracting automorphisms and Lp-cohomology in degree one

“…This can be reformulated as -if G is non-compact, amenable and unimodular, then the topological vector space H 1 p (G) is non-Hausdorff (and in particular is non-zero); -otherwise, H 1 p (G)=H 1 p (G). A definition of the first L p -cohomology of a locally compact group in the context of metric measured spaces is given in [Pa2] (see also [T2,Section 3] and Appendix B); the equivalence between the two definitions is obtained in [T2,Section 5].…”

Graphs of bounded degree and thep-harmonic boundary

“…This of course would resolve Gromov's conjecture. More information about the first reduced L p -cohomology (and the special case of L 2 -cohomology) can be found in [Pansu 1989;2008;Tessera 2009] for various manifolds, and in [Bekka and Valette 1997;Bourdon 2004;Bourdon et al 2005;Elek 1998;Martin and Valette 2007;Puls 2003;2006; for finitely generated groups. As implied earlier, there is a strong connection between the vanishing of the first reduced L p -cohomology and the nonexistence nonconstant p-harmonic functions; for a proof in the case of homogeneous Riemannian manifolds, see [Tessera 2009, Proposition 4.11].…”