Unexpected behavior of Caputo fractional derivative

Abstract

This paper discusses the modeling via mathematical methods based on fractional calculus, using Caputo fractional derivative. From the fractional models associated with harmonic oscillator, logistic equation and Malthusian growth, an unexpected behavior of the Caputo fractional derivative is discussed. The difference between the rate of variation and the order of the Caputo fractional derivative is explained.

On some subclasses of hypergeometric functions with Djrbashian Cauchy type kernel

“…The analysis of extensions and generalizations of hypergeometric functions is a well-known, contemporary investigation field (see, e.g., [1,12,[15][16][17]). For introducing the considered in this paper weighted hypergeometric functions, we recalled the weighted extension [14] of Euler's beta-function:…”

Aplicabilidade do Método da Transformada Diferencial na Modelagem Fracionária

“…Nesse sentido, o Cálculo de Ordens Não Inteira, tradicionalmente conhecido como Cálculo Fracionário, queé o ramo da matemática que estuda integrais e derivadas de ordens não-inteiras, desempenha este papel em destaque [3,9].…”

“…Considerando uma equação diferencial que descreve um fenômeno específico, uma maneira comum de usar a modelagem fracionáriaé substituir as derivadas de ordem inteira por uma derivada não-inteira, geralmente com ordem menor ou igualà ordem das derivadas originais, de modo que a derivada usual pode ser recuperada como um caso particular [9]. Assim, o principal desafio passa ser em buscar técnicas e métodos que encontre a solução da equação de estudo.…”

“…Veremos a seguir que este método (MSGDTM) também possui limitações, uma vez que, embora não exista uma interpretação física e geométrica trivial para a derivada e a integral fracionária, as equações diferenciais de ordem fracionária estão naturalmente relacionadas a sistemas com memória, as derivadas fracionárias normalmente não são operadores locais, istoé, o cálculo da derivada depende de tempo anteriores [9]. Assim, será realizada uma comparação entre a solução analítica da equação de Malthus de ordem inteira e não-inteira com o método MSGDTM com um passo, dois passos, quatro passos e oitenta passos.…”

Método da Transformada Diferencial na Aplicação do Cálculo Fracionário em Dinâmica Tumoral

“…A maneira usual de se utilizar esta poderosa ferramenta,é substituir a derivada de ordem inteira da equação diferencial que descreve um determinado fenômeno, por uma de ordem não-inteira, geralmente esta derivada tem ordem inferior ou igualà ordem da derivada original [3,7]. Naturalmente, esse método nos conduz a necessidade de resolver as equações diferenciais de ordem não-inteira.…”