Un esquema de transformación lineal: construcción de objetos abstractos a partir de la interiorización de acciones concretas

Abstract

RESUMEN • En este artículo se expone un modelo cognitivo denominado por la teoría APOE (acró-nimo de Acción, Proceso, Objeto, Esquema) descomposición genética, que describe las estructuras y mecanismos mentales que un individuo debe desarrollar para comprender el concepto de transformación lineal. Se analiza cómo la definición funcional de la transformación lineal, su representación matricial y geométrica se relacionan a través del concepto de base ordenada. El esquema descrito a través de las diferentes relaciones entre estructuras y mecanismos mentales señala la importancia de realizar acciones sobre objetos concretos (representaciones gráficas de funciones del plano en él mismo) para lograr objetos abstractos. Este modelo permite la construcción de un esquema que puede evolucionar gracias a las diferentes experiencias de un individuo con situaciones matemáticas más sofisticadas.PALABRAS CLAVE: transformación lineal; base; representación matricial; teoría APOE; esquema.ABSTRACT • This article show a cognitive model called by the APOS theory (acronym for Action, Process, Object, Scheme) genetic decomposition, which describes the mental structures and mechanisms that a person must develop to understand the concept of linear transformation. We discussed how the functional definition of linear transformation and its matrix and geometric representation are related through the ordered basis concept. Scheme described through the different relationships between mental structures and mechanisms show the importance of actions on concrete objects (graphic representations of plane functions in itself ) to achieve abstract objects. This model allows the construction of a scheme that can evolve thanks to the different experiences of an individual with more sophisticated mathematical situations.

Estructuras y mecanismos mentales que desde una perspectiva geométrica modelan y articulan el aprendizaje de valor y vector propio en R2

“…Como resultado de esta investigación, se proponen los modelos DG R0 y DG R1 a la comunidad interesada en el aprendizaje del concepto de valor y vector propio. Estos modelos de acuerdo con las evidencias presentadas, representan una ruta cognitiva viable, desde la enseñanza secundaria hasta la universitaria, con base en una perspectiva geométrica que fomenta la construcción de formas más abstractas desde la visualización, tal como lo señala para la Transformación Lineal Oktaç, (2018), lo que tributa a proporcionar recomendaciones didácticas para superar dificultades que han sido expuestas en la literatura (Hillel, Sierpinska & Dreyfus, 1998;Dorier, Robert, Robinet y Rogalski, 2000;Dorier y Sierpinska, 2001;Soto, 2005;Klasa, 2010;Parraguez y Oktaç, 2010;Rensaa, Hogstad y Monaghan, 2020;Arnon, Cottril, Dubinsky, Oktaç, Roa-Fuentes, Trigueros & Weller, 2014;Rach y Fillebrown, 2016;Parraguez, Lezama y Jiménez, 2016;Harel, 2017;González y Roa-Fuentes, 2017;Bouhjar, Andrews-Larson, Hadier y Zandieh, 2018;Oktaç, 2019) de cómo se construyen y aprenden los conceptos del Álgebra Lineal. Sumado a lo anterior, para los propósitos de Educación STEM, que apuntan a profundizar la comprensión conceptual de la matemática, el manejo de la concepción geométrica de los conceptos se torna fundamental, para ampliar su comprensión a través de su uso social y contextos STEM culturalmente relevantes (Roehrig, Moore, Wang and Park, 2012).…”

“…La brecha entre las matemáticas de la escuela y la universidad esta dibujada por la construcción sobre Objetos concretos y abstractos (Arnon, Cottril, Dubinsky, Oktaç, Roa-Fuentes, Trigueros & Weller, 2014) respectivamente, en este sentido, el uso de las representaciones geométricas es un aspecto que permite trazar puentes entre formas simples y complejas de pensamiento (Harel, 2017). Los valores y vectores propios, así como otros conceptos de Álgebra Lineal con frecuencia descuidan la comprensión conceptual (Bouhjar, Andrews-Larson, Hadier y Zandieh, 2018) y pretenden esquivar la naturaleza abstracta de conceptos como espacio vectorial y transformación lineal mediante la ejercitación de procedimientos calculatorios específicos que los estudiantes logran manipular, pero que no necesariamente logran comprender (Robinet, 1986;Moore, 1995;Parraguez y Oktaç, 2010;Parraguez, Lezama y Jiménez, 2016;González y Roa-Fuentes, 2017).…”

Construcción cognitiva del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

“…Una descomposición genética (DG) es un modelo hipotético que describe en detalle las construcciones y los mecanismos mentales que son necesarios para que un estudiante construya un concepto matemático (Codes y González-Martin, 2017;Arnon et al, 2014;Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2006;Asiala et al, 1996). Este modelo no pretende ser único y debe ponerse a prueba experimentalmente para ser validado o refinado a través de la aplicación de técnicas de recolección de datos y su posterior análisis (González y Roa, 2017).…”

“…En el marco de lo anterior, se consideró el ciclo de investigación de APOE, que está compuesto por tres componentes: el análisis teórico, el diseño y aplicación de instrumentos y el análisis y verificación de datos. Este ciclo ha sido utilizado con éxito por el Grupo RUMEC y otros investigadores (González y Roa, 2017;Trigueros, Maturana, Parraguez y Rodríguez, 2015;Arnon et al, 2014;Roa y Oktaç, 2012;Sánchez-Matamoros et al, 2006). El análisis teórico permitió proponer las construcciones y los mecanismos mentales descritos en la DG preliminar en la página 74.…”

Las trayectorias hipotéticas de aprendizaje: Un ejemplo en un curso de álgebra lineal

“…En los últimos quince años, la investigación sobre el aprendizaje y la enseñanza del álgebra lineal a nivel universitario ha sido de interés para la comunidad científica de educación matemática (Trigueros, 2019;González y Roa-Fuentes, 2017). Por esta razón, actualmente, existen estudios sobre cómo los estudiantes construyen conceptos en este curso (Thomas y Stewart, 2011) y sobre innovaciones docentes (Andrews-Larson, Wawro y Zandieh, 2017;Cárcamo, Fortuny y Gómez, 2017).…”