Um breve tratado sobre a aproximação paraxial

Abstract

A equação de ondas paraxial emerge na descrição de diversos problemas em física e engenharia. Por exemplo, na mecânica quântica a equação de Schrödingeré uma aproximação paraxial da teoria relativística. Ela aparece também no estudo da propagação de ondas eletromagnéticas, nas mais variadas situações. Na presente contribuição apresentamos uma revisão geral da equação paraxial e sua obtenção em diversas situações importantes para a física e a engenharia. Analogias entre a equação paraxial no estudo de ondas eletromagnéticas e a equação de Schrödinger da mecânica quântica são discutidas, bem como a relação entre paraxialidade e transversalidade das ondas eletromagnéticas. Por fim, alguns exemplos interessantes de propagação de ondas no limite de paraxialidade são considerados. Palavras-chave: eletromagnéticas, equação paraxial, equação de Schrödinger.The paraxial wave equation describes many problems in Physics and Engineering. For instance, the Schrödin-ger equation describing non-relativistic particles can be considered as a paraxial approximation of the relativistic quantum mechanics. The paraxial equation also emerges in the study of the electromagnetic waves propagation in a large number of physical situations. In this contribution we present an overview of the paraxial wave equation and its derivation in relevant problems for Physics and Engineering. Analogies between the electromagnetic paraxial equation and the quantum mechanical Schrödinger equation are discussed, as well as the relationship between paraxiality and transversality of electromagnetic waves. Finally, a few interesting examples of wave propagation in the paraxial limit are considered. Keywords: electromagnetic waves, paraxial equation, Schrödinger equation. IntroduçãoAs equações de Maxwell descrevem todos os fenômenos eletromagnéticos conhecidos de modo bastante preciso, e quando são quantizadas apresentam concordância extraordinária entre teoria e dados experimentais. Na forma clássica e no mundo macroscópico, são dadas por [1] 2 . Todas as unidades utilizadas estão dadas no sistema internacional de medidas (SI). Para completar o conjunto das equações,é necessário conhecer as relações constitutivas dos meios, que descrevem a resposta dos meios materiaisà aplicação dos campos E e H. Restringindo a atenção ao caso de um meio material não-magnético isotrópico, de maior interesse para o momento, na presença de campos eletromagnéticos E(r, t) e H(r, t) que variam suavemente no espaço em comparação com a escala atômico-molecular, a resposta de um materialé dada pelas relações abaixo

Maxwell’s equations in Fourier space and coupling between elementary excitations in solids

“…For this reason, there are different methods to approach the wave equation, depending on the physical problem under analysis. In reference [8], for example, the paraxial approximation used in the study of electromagnetic waves is presented, while in reference [9] the Fresnel-Kirchhoff scalar theory is used to study the diffraction pattern in slits in the Fresnel regime.…”

Índices de refração não convencionais – uma breve introdução à simetria PT

“…Com tal aproximação, chegamos a uma forma idêntica à da equação de Schrödinger, porém com interpretações diferentes para os seus termos constituintes. Novamente, o leitor pode consultar uma extensa literatura sobre a apŕoximação paraxial [28,29]. Faremos uma breve explanação para tornar claro a analogia com a equação de Schrödinger.…”

Deduzindo a Equação de Schrodinger Através da Analogia Óptico-Mecânica de Hamilton

“…A variável z ocupa o lugar de t, o laplaciano transversal ∇ 2 ⊥ ocupa o lugar do laplaciano completo ∇ 2 e não existe um termo análogo ao potencial V devido ao meio ser homogêneo. No caso de meios não-homogêneos, surge um termo análogo ao potencial, que é responsável pelo surgimento da refração e espalhamento [18,19].…”