Über Anwachsen und Nullstellenverteilung der ganzen transzendenten Lösungen linearer Differentialgleichungen. I.

Abstract

Unter den in der offenen komplexen Ebene | z \ < oo eindeutigen analytischen Funktionen haben neuerdings Lösungen algebraischer, insbesondere linearer Differentialgleichungen besonderes Interesse gefunden. Mit Hilfsmitteln der Wertverteilungslehre lassen sich aus der Differentialgleichung allgemein Schlüsse über das Verhalten der Lösungen bei großen r = \ z \ gewinnen. Jede Lösung der im folgenden betrachteten linearen Differentialgleichung (l, 01) W^(Z) + P1 (Z) Hf»-»(z) + '·· + p m -i(z) W 1 (Z) + Pm (z) w(z)eine ganze Funktion, in der Regel ganz transzendent, in Ausnahmefällen ein Polynom. Vorn Standpunkt der Wertverteilungslehre interessiert in erster Linie die Wachstumsordnung //i AON i r (l, 02) = hm mit M (r) = Max | w(z) |. Eine ganze transzendente Lösung w(z) von (l, 01) hat rationale M-r Wachstumsordnung und ist vom Normaltypus dieser Ordnung, d. h. der Grenzwert (Typus) (1.03) t r->oo 'ist endlich und von Null verschieden. In (l, 02) und (l, 03) kann hier einfach lim statt lim geschrieben werden, da die Differentialgleichung eine gewisse Regelmäßigkeit im Verhalten von w(z) zur Folge hat. Da also gilt (1.04) In Jlf (r) = fr* (l + e(r)) mit (r) -> 0 für r-> oo, wird durch die Zahlen und t das Anwachsen der ganzen transzendenten Lösungen charakterisiert. Die Werte, die dafür in Betracht kommen, lassen sich, wie gleich beschrieben wird, in einfacher Weise aus dem Verhalten der Polynome (l, 05) Pi (z) = a } z k i + · · · = , (l + 0 (-) j bei \z |->oo gewinnen; kj bezeichnet den Grad von Pl und a> den Koeffizienten der höchsten Potenz. Ferner wir eingeführt m (l, 06) * = Max kj ?*=! und (1,07) «/ = m -/ + * -*,.