Total Domination on Tree Operators

Abstract

Let G be a graph with vertex set V and edge set E, a set $$D\subseteq V$$ D ⊆ V is a total dominating set if every vertex $$v\in V$$ v ∈ V has at least one neighbor in D. The minimum cardinality among all total dominating sets is called the total domination number, and it is denoted by $$\gamma _{t}(G)$$ γ t ( G ) . Given an arbitrary tree graph T, we consider some operators acting on this graph; $$\texttt {S}(T),\texttt {R}(T),\texttt {Q}(T)$$ S ( T ) , R ( T ) , Q ( T ) and $$\texttt {T}(T)$$ T ( T ) , and we give bounds of the total domination number of these new graphs using other parameters in the graph T. We also give the exact value of the total domination number in some of them.

Total Regular Domination on a Litact Graph

“…Theorem-B (5) : If 'G is any graph with order 𝑛' , then, 𝛾 𝑡 (𝑆 (𝐺)) ≤ ⌊ 3𝑛−𝛼(𝐺) 2 ⌋. Theorem-C (6) : If 'G is any graph with order 𝑛' , then, 𝛾 𝑡 (𝑇 (𝐺)) ≥ 𝛾 𝑡 (𝐺). Theorem-D (7) :If 'T is a tree of order 𝑛 ≥ 3' , then 𝛾 𝑡𝑚 (𝑇 ) ≤ ⌊ 2𝑛 3 ⌋.…”

On the total domination number of total graphs

“…We begin this subsection with the following result given in [1], which states the total domination number of T(P n ).…”

Alianzas defensivas fuertes en gráficas clásicas bajo el operador S(G) y R(G)

“…El estudio de las propiedades matemáticas y estructurales de los operadores en gráficas son un área de investigación relativamente reciente y activa en la teoría de gráficas. Por ejemplo, en el trabajo de Basilio et al (2020) se exploró la relación entre el diferencial de una gráfica 𝐺 y el diferencial de 𝑄(𝐺), mientras que establece límites exactos para el número de dominación total de las gráficas 𝑆(𝐺), 𝑅(𝐺) y 𝑄(𝐺) utilizando algunos parámetros en la gráfica original 𝐺. Asimismo, Bermudo (2023) considera algunos operadores que actúan sobre alguna gráfica árbol arbitraria 𝑆(𝐺), 𝑅(𝐺), 𝑄(𝐺) y T(T) y dan algunos límites del número total de dominación de estas nuevas gráficas incorporando otros parámetros en la gráfica T. También, se determinó el valor exacto del número de dominación total en algunos de ellos.…”