To the Question of the Root-Class Residuality of Free Constructions of Groups

Sokolov, E. V.; Tumanova, E. A.

doi:10.1134/s1995080220020158

“…The above theorem generalizes Theorem 1 from [19], which says that the same assertion holds if Γ is a finite graph. It becomes possible to discard this finiteness condition due to a completely different proof.…”

supporting

confidence: 57%

“…This article continues the paper [19], where the relationship is considered between two properties of the fundamental group of a graph of groups. The first of these properties is the approximability by a root class C, and the second is the existence of a homomorphism of the fundamental group that maps it onto a group from C and acts injectively on all edge subgroups.…”

Section: Introduction Statement Of Resultsmentioning

confidence: 78%

On the separability of subgroups of nilpotent groups by root classes of groups

Sokolov

¹

2023

Journal of Group Theory

View full text Add to dashboard Cite

Suppose that 𝒞 is a class of groups consisting only of periodic groups and P ⁢ ( C ) ′ \mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime} is the set of prime numbers that do not divide the order of any element of a 𝒞-group. It is easy to see that if a subgroup 𝑌 of a group 𝑋 is 𝒞-separable in this group, then it is P ⁢ ( C ) ′ \mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime} -isolated in 𝑋. Let us say that 𝑋 has the property C ⁢ - ⁢ S ⁢ e ⁢ p \mathcal{C}\textup{-}\mathfrak{Sep} if all of its P ⁢ ( C ) ′ \mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime} -isolated subgroups are 𝒞-separable. We find a condition that is sufficient for a nilpotent group 𝑁 to have the property C ⁢ - ⁢ S ⁢ e ⁢ p \mathcal{C}\textup{-}\mathfrak{Sep} provided 𝒞 is a root class. We also prove that if 𝑁 is torsion-free, then the indicated condition is necessary for this group to have C ⁢ - ⁢ S ⁢ e ⁢ p \mathcal{C}\textup{-}\mathfrak{Sep} .

show abstract

“…We strengthen some known results (for example, on the residual finiteness results at once using the same reasoning. This approach was originally proposed in [12,21] and turned out to be very fruitful in the study of free constructions of groups in the case when C was a root class; see, e. g. [2,[25][26][27][28][29][30][31].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Certain residual properties of generalized Baumslag-Solitar groups

Sokolov

2020

Preprint

Self Cite

0

View full text Add to dashboard Cite

Let G be a generalized Baumslag-Solitar group and C be a class of groups containing at least one non-unit group and closed under taking subgroups, extensions, and Cartesian products of the form y∈Y X y , where X, Y ∈ C and X y is an isomorphic copy of X for every y ∈ Y . We give a criterion for G to be residually a C-group provided C consists only of periodic groups. We also prove that G is residually a torsion-free C-group if C contains at least one non-periodic group and is closed under taking homomorphic images. These statements generalize and strengthen some known results. Using the first of them, we provide criteria for a GBS-group to be a) residually nilpotent; b) residually torsion-free nilpotent; c) residually free. and the residual p-finiteness of GBS-groups) and give a criterion for the residual nilpotence of a GBS-group.Let C be a class of groups. A group G is said to be residually a C-group if, for any non-unit element g ∈ G, there exists a homomorphism σ of G onto a group of C such that gσ = 1. The most commonly considered situation is when C is the class of all finite groups, all finite p-groups (where p is a prime number), all nilpotent groups or all solvable groups. In these cases G is called residually finite, residually p-finite, residually nilpotent or residually solvable respectively.We say that a class C of groups is root if it contains at least one non-unit group and is closed under taking subgroups, extensions, and Cartesian products of the form y∈Y X y , where X, Y ∈ C and X y is an isomorphic copy of X for every y ∈ Y . The notion of a root class was introduced by Gruenberg [12], and the above definition is equivalent to that given in [12]; see [25] for details.The classes of all finite groups, all finite p-groups, all periodic groups of finite exponent, all solvable groups, and all torsion-free groups can serve as examples of root classes. It is also easy to see that the intersection of any number of root classes is again a root class. At the same time, the classes of all nilpotent groups, all torsion-free nilpotent groups, and all finite nilpotent groups are not root because they are not closed under taking extensions.

show abstract

“…Как следствие, аппроксимируемость подобных свободных конструкций изучают при различных дополнительных ограничениях, накладываемых на группы, из которых они построены, на объединенные или связанные подгруппы, а также на аппроксимирующий класс. В последние годы на этом пути было получено достаточно много результатов об аппроксимируемости уже не каким-то конкретным, а произвольным корневым классом групп, удовлетворяющим, возможно, некоторым дополнительным условиям (см., например, [2,[10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21]). Следует заметить, что отправной точкой для всех этих исследований послужило сделанное Д. Н. Азаровым замечание о том, что любая свободная группа аппроксимируется каждым нетривиальным (т. е. содержащим хотя бы одну неединичную группу) корневым классом Е. В. Соколов, Е. А. Туманова групп [10].…”

unclassified

“…Пусть в дополнение к условиям, перечисленным выше, для любых e ∈ E, v ∈ e группа G v σ v не имеет кручения и подгруппа H e,v σ v изолирована в ней. Тогда образ гомоморфизма σ можно считать группой без кручения, и если каждая вершинная группа G v аппроксимируется C -группами без кручения, то и группа FTP(T ) аппроксимируется C -группами без кручения.В качестве комментария к формулировке теоремы 2 отметим, что, как установлено в[20], для многих корневых классов групп существование гомоморфизма группы FTP(T ) на группу из класса C , инъективного на каждой реберной Е. В. Соколов, Е. А. Туманова подгруппе, является более сильным условием, нежели C -аппроксимируемость. При этом именно наличие такого гомоморфизма, а не просто C -аппроксимируемость, зачастую оказывается необходимым для исследования аппроксимируемости свободных конструкций групп корневыми классами, содержащими бесконечные группы (см., например,[13,15,21]).…”

unclassified

Об Аппроксимируемости Корневыми Классами Древесных Произведений С Центральными Объединенными Подгруппами

Sokolov¹,

Tumanova²

2020

Sib. Mat. Zh.

Self Cite

0

View full text Add to dashboard Cite

Аннотация. Пусть C корневой класс групп, P древесное произведение, каждая объединенная подгруппа которого лежит в центрах соответствующих вершинных групп. В статье указаны некоторые достаточные условия C-аппроксимируемости группы P . Доказано, в частности, что древесное произведение разрешимых групп ограниченной ступени разрешимости с центральными объединенными подгруппами аппроксимируется разрешимыми группами.

show abstract

To the Question of the Root-Class Residuality of Free Constructions of Groups

Cited by 12 publications

References 15 publications

On the separability of subgroups of nilpotent groups by root classes of groups

On the separability of subgroups of nilpotent groups by root classes of groups

Certain residual properties of generalized Baumslag-Solitar groups

Об Аппроксимируемости Корневыми Классами Древесных Произведений С Центральными Объединенными Подгруппами

Contact Info

Product

Resources

About