Three-dimensional Cauchy–Riemann structures and second-order ordinary differential equations

Abstract

The equivalence problem for second-order ordinary differential equations (ODEs) given modulo point transformations is solved in full analogy with the equivalence problem of nondegenerate three-dimensional Cauchy-Riemann structures. This approach enables an analogue of the Fefferman metrics to be defined. The conformal class of these (split signature) metrics is well defined by each point equivalence class of second-order ODEs. Its conformal curvature is interpreted in terms of the basic point invariants of the corresponding class of ODEs.

Задача эквивалентности Картана для невырожденных по Леви вещественных гиперповерхностей $M^3\subset\mathbb C^2$

“…На самом деле по известным причинам (см., например, [11], [14]) существует принцип переноса, показывающий, что эти две, по-видимому, разные задачи эквивалентности решаются схожими способами. Однако наша основная цель -выйти за пределы так называемого непараметрического подхода (обычно тре-бующего меньших усилий) и провести все вычисления эффективно в терминах одной функции P (а значит, и в терминах одной лишь функции ϕ(z, z, u), за-дающей гиперповерхность как график).…”

“…В заключение введения отметим, что несмотря на известную тесную связь между эквивалентностью гиперповерхностей M 3 ⊂ C 2 и обыкновенными диф-ференциальными уравнениями второго порядка [3], [8], [11]- [14] и на то, что (неявные) геометрические образы, стоящие за нашими результатами, также бы-ли известны (хотя часто со спрятанными вычислениями), для глубокого пони-мания сути метода Картана представляется необходимым дать полностью эф-фективное и систематическое изложение указанных (сложных) вычислитель-ных аспектов.…”

Cartan’s concept of duality for second-order ordinary differential equations

“…The first [8] deals directly with the kind of question just described, namely the construction of a geometric structure on the solution space of a second-order ordinary differential equation and the identification of a function of Wünschmann type, here a relative invariant of the equation under point transformations. The second [9] examines the relation between the geometry of a second-order ordinary differential equation and that of a Cauchy-Riemann structure from a somewhat similar point of view, and describes the construction of a conformal class of split-signature four-dimensional metrics associated with each second-order ordinary differential equation, analogous to the Fefferman metrics associated with Cauchy-Riemann structures.…”

“…The other, which is the one of interest here, is in effect provided in [8]: the geometric structure on the solution space of the equation sought therein is a projective connection of affine type, and b turns out to be the corresponding Wünschmann-like invariant, whose vanishing is the condition for such a structure to exist. We can express this result as follows (similar accounts have been given in [2,9]). The second-order differential equation should be considered as a line-element field (a vector field determined up to a scalar factor) on PTM, the projective tangent bundle of the two-dimensional manifold M of coordinates x and y.…”

Однородные Пара-Кэлеровы Многообразия Эйнштейна

“…Общее решение этого уравнения y = f (x, y, X, Y ) зависит от двух свободных параметров X, Y (постоянных интегрирования) и определяет гиперповерхность M в пространстве R 2 × R 2 = {(x, y, X, Y )} с есте-ственной пара-комплексной структурой K, инвариантной относительно точеч-ных преобразований. Индуцированная пара-CR-структура на пространстве ре-шений M играет важную роль в геометрической теории обыкновенных диф-ференциальных уравнений второго порядка, развитой в [94], где рассмотрен пара-аналог метрики Феффермана на некотором расслоении над M , а также введено и изучено понятие двойственного обыкновенного дифференциального уравнения.…”