The Threshold Effects for the Two-Particle Hamiltonians on Lattices

Abstract

For a wide class of two-body energy operators h(k) on the three-dimensional lattice Z 3 , k being the two-particle quasi-momentum, we prove that if the following two assumptions (i) and (ii) are satisfied, then for all nontrivial values k, k = 0, the discrete spectrum of h(k) below its threshold is non-empty. The assumptions are: (i) the twoparticle Hamiltonian h(0) corresponding to the zero value of the quasi-momentum has either an eigenvalue or a virtual level at the bottom of its essential spectrum and (ii) the oneparticle free Hamiltonians in the coordinate representation generate positivity preserving semi-groups.

Spectral properties of a two-particle hamiltonian on a d-dimensional lattice

“…In [4], it was proven that if the operator h(0) has a virtual level at the lower edge of essential spectrum, then the discrete spectrum of h(k) lying below the essential spectrum is always nonempty for any k ∈ T d \ {0}. In [5], assuming that dispersion relations ε 1 (·) and ε 2 (·) are linearly dependent, it was proven that the positivity of h(0) implies the positivity of h(k) for all k.…”

Число Связанных Состояний Одночастичного Гамильтониана На Трехмерной Решетке

“…Спектральные свойства одночастичных гамильтонианов h, описывающих движе-ние одной квантовой частицы в потенциальном полеv, и двухчастичных дискретных 426 С. Н. ЛАКАЕВ, И. Н. БОЗОРОВ операторов Шредингера h(k), k ∈ T ν , ассоциированных с гамильтонианами системы двух одинаковых и произвольных частиц на решетке, взаимодействующих с помо-щью парных короткодействующих потенциалов, изучены в работах [8], [9]. В ра-боте [10] для некоторого класса трансфер-матриц гиббсовского поля исследовано существование связанных состояний при некоторых значениях квазиимпульса двух частиц.…”

“…В ра-боте [10] для некоторого класса трансфер-матриц гиббсовского поля исследовано существование связанных состояний при некоторых значениях квазиимпульса двух частиц. В работе [8] для широкого класса дискретных двухчастичных операторов Шредингера h(k), k ∈ T d , d 3, получен следующий результат: если двухчастич-ный оператор h(0) на пороге z = ε min (0) существенного спектра имеет виртуальный уровень или собственное значение, то при всех k ̸ = 0 оператор h(k) имеет собствен-ное значение ниже порога существенного спектра.…”

О Кратности Виртуального Уровня Нижнего Края Непрерывного Спектра Одного Двухчастичного Гамильтониана На Решетке

“…На решетке выделению центра масс системы отвечает реализация гамильтониана как "расслоенного" оператора, т. е. прямого интеграла семейства опе-раторов h(k) энергии двух частиц, зависящих от значений полного квазиимпульса [2], [3]. Конечность и бесконечность числа дискрет-ных собственных значений многочастичных систем зависят от числа виртуальных 330 М. Э. МУМИНОВ, А. М. ХУРРАМОВ уровней подсистем.…”

“…Для системы двух частиц на решетке существование виртуального уровня изучалось в работах [3], [9], [10] в случае, ко-гда дисперсионные соотношения частиц линейно зависимы и имеют единственный невырожденный минимум в нуле.…”