The Solvability of the Inverse Problem for the Evolution Equation with a Superstable Semigroup

Abstract

* Кафедра математической физики МГУ имени М. В. Ломоносова Ленинские горы, ГСП-1, Москва, Россия, 119991 † Кафедра математического анализа Московский педагогический государственный университет ул. Краснопрудная, д. 14, Москва, Россия, 107140Для эволюционного уравнения в банаховом пространстве изучается линейная обратная задача о нахождении «источника». Требуется восстановить неизвестное неоднородное слага-емое при помощи дополнительного нелокального условия, выраженного в виде интеграла Римана-Стильтьеса. Основное предположение связано с суперустойчивостью (квазиниль-потентностью) эволюционной полугруппы. Точнее, предполагается, что эволюционная полугруппа, ассоциированная с абстрактным дифференциальным уравнением, имеет бес-конечный отрицательный экспоненциальный тип. Без других ограничений установлена теорема об однозначной разрешимости обратной задачи. Показано, что решение представи-мо сходящимся рядом Неймана. Предъявлены точные условия, при которых бесконечный ряд обращается в конечную сумму. Здесь алгоритм вычисления решения становится финит-ным. Разобраны модельные примеры, в том числе -важный пример обратной задачи с финальным переопределением. Перечисленные результаты могут найти применение в спе-циальных разделах математической физики, связанных с теорией упругости и задачами линейного переноса. Как принято, наше исследование проходит «в случае общего положе-ния» -при выборе комплексного поля скаляров, но основные факты справедливы также и в вещественном случае. Созданная теория допускает перенос на нелокальные задачи для эво-люционных уравнений, когда для нахождения решения вместо традиционного начального условия используют специальные усреднения по времени.Ключевые слова: эволюционное уравнение, обратная задача, суперустойчивая полу-группа, операторное уравнение, ряд Неймана, теорема существования и единственности решения ВведениеВ банаховом пространстве при фиксированном значении > 0 рассмотрим абстрактную задачу Коши для эволюционного уравнения специального вида:Предполагаем, что -линейный замкнутый оператор в с плотной областью определения ( ) ⊂ , причём порождает в полугруппу ( ) класса 0 (подроб-нее см. Статья поступила в редакцию 12 января 2018 г.

Classical bounded and almost periodic solutions to quasilinear first-order hyperbolic systems in a strip

“…The proof of the equivalence of (H3) and (2.1) and a comprehensive discussion of boundary conditions of this type can be found in [19]. Problems (1.1), (1.2) satisfying Assumption (H3) occur in chemical kinetics [34,35], population dynamics [28,29], boundary feedback control theory [1,6,13,29], and inverse problems [33]. A collection of examples from these areas can be found in [20].…”

Finite Time Stabilization of Nonautonomous First Order Hyperbolic Systems

“…The concept of FTS plays an important role also in the research on the adaptive outputfeedback stabilization [14,16] and inverse problems [31].…”