The optimum of the M. M. Lavrent'ev method

Танана, В. П.; Rudakova, Tatiana Nikolaevna

doi:10.1515/jiip.2011.012

Cited by 8 publications

(4 citation statements)

References 0 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Then, by implementing the discretization process, we obtain the linear operator equation. The inverse ill-posed problems have been studied and solved in many works with a different method [11][12][13][14].…”

Section: Problem Statementmentioning

confidence: 99%

“…[8] and many others. Various methods and algorithms for solving IP "inverse problems" were explained and used in [9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19]. The success of these methods and algorithms is largely based on understanding and analyzing the mathematical problems related to the declarations of the properties in these IP "inverse problems" and identifying specific difficulties in solving them [20][21][22][23][24][25].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

See 1 more Smart Citation

Multigrid Method for Solving Inverse Problems for Heat Equation

et al. 2022

View full text Add to dashboard Cite

In this paper, the inverse problems for the boundary value and initial value in a heat equation are posed and solved. It is well known that those problems are ill posed. The problems are reformulated as integral equations of the first kind by using the separation-of-variables method. The discretization of the integral equation allowed us to reduce the integral equation to a system of linear algebraic equations or a linear operator equation of the first kind on Hilbert spaces. The Landweber-type iterative method was used in order to find an approximation solution. The V-cycle multigrid method is used to obtain more frequent and fast convergence for iteration. The numerical computation examples are presented to verify the accuracy and fast computing of the approximation solution.

show abstract

Section: Problem Statementmentioning

confidence: 99%

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Multigrid Method for Solving Inverse Problems for Heat Equation

et al. 2022

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Заметим, что к настоящему времени модуль непрерывности обратного оператора достаточно хорошо исследован [3]. Одной из слабых сторон модуля непрерывности [2], является то, что при его вычислении требуется коммутируемость операторов, используемых в задаче.…”

Section: Introductionunclassified

“…Эта оценка позволяет судить о степени достоверности этого решения. До последнего времени при оценке погрешности приближенного решения использовался модуль непрерывности обратного оператора [1], который не только позволял получить эту оценку, но и доказать ее точность [2], а также оптимальность, используемого метода [2].Заметим, что к настоящему времени модуль непрерывности обратного оператора достаточно хорошо исследован [3]. Одной из слабых сторон модуля непрерывности [2], является то, что при его вычислении требуется коммутируемость операторов, используемых в задаче.…”

unclassified

Numerical Approach to Estimate the Error of Ill-Posed Problems

Sidikova¹

2016

CTAC&R

View full text Add to dashboard Cite

ВведениеВо многих областях естествознания приходится сталкиваться с задачами, которые в математике принято называть некорректными. Основы теории исследования и методов решения таких задач были разработаны в трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корр. РАН В.К. Иванова. Развитие вычислительной техники стимулировало интерес к некорректным задачам. В настоящее время практически во всех разделах математики (включая алгебру, математический анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику, функциональный анализ, вычислительную математику и т. д.), в физике, геофизике, медицине, астрономии и многих других областях знаний, в которых применимы математические методы исследований, изучаются такие задачи.При решении некорректно поставленных задач важную роль играет оценка погрешности приближенного решения. Эта оценка позволяет судить о степени достоверности этого решения. До последнего времени при оценке погрешности приближенного решения использовался модуль непрерывности обратного оператора [1], который не только позволял получить эту оценку, но и доказать ее точность [2], а также оптимальность, используемого метода [2].Заметим, что к настоящему времени модуль непрерывности обратного оператора достаточно хорошо исследован [3]. Одной из слабых сторон модуля непрерывности [2], является то, что при его вычислении требуется коммутируемость операторов, используемых в задаче. Этот факт значительно сужает класс задач, к которым применим модуль непрерывности.В настоящей статье предложен численный алгоритм для оценки решения некорректной задачи. Предложенный в работе подход позволяет значительно расширить класс задач, к которым он применим, а также получить точность оценки, не уступающую той, которая могла бы быть получена с помощью модуля непрерывности обратного оператора. Постановка задачиЮжно-Уральский государственный университет, г. ЧелябинскМодуль непрерывности обратного оператора приводит к минимизации невыпуклого функционала. На практике модуль непрерывности может быть вычислен для очень узкого класса задач. Главной трудностью при его вычислении является коммутируемость входящих в задачу операторов. Так как это условие в реальных задачах редко выполняется, то возникла необходимость в численных алгоритмах для оценки погрешности.Предложен численный алгоритм для оценки приближенного решения операторного уравнения первого рода, полученного методом невязки, не использующий модуль непрерывности обратного оператора. Показано, что эта оценка погрешности не хуже оценки, использующей модуль непрерывности обратного оператора. Предложенный в работе подход позволяет значительно расширить класс задач, к которым он применим, а также получить точность оценки, не уступающую той, которая могла бы быть получена с помощью модуля непрерывности обратного оператора.Ключевые слова: регуляризация, метод невязки, оценка погрешности, некорректная задача.

show abstract