Numerical Approach to Estimate the Error of Ill-Posed Problems

Abstract

ВведениеВо многих областях естествознания приходится сталкиваться с задачами, которые в математике принято называть некорректными. Основы теории исследования и методов решения таких задач были разработаны в трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корр. РАН В.К. Иванова. Развитие вычислительной техники стимулировало интерес к некорректным задачам. В настоящее время практически во всех разделах математики (включая алгебру, математический анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику, функциональный анализ, вычислительную математику и т. д.), в физике, геофизике, медицине, астрономии и многих других областях знаний, в которых применимы математические методы исследований, изучаются такие задачи.При решении некорректно поставленных задач важную роль играет оценка погрешности приближенного решения. Эта оценка позволяет судить о степени достоверности этого решения. До последнего времени при оценке погрешности приближенного решения использовался модуль непрерывности обратного оператора [1], который не только позволял получить эту оценку, но и доказать ее точность [2], а также оптимальность, используемого метода [2].Заметим, что к настоящему времени модуль непрерывности обратного оператора достаточно хорошо исследован [3]. Одной из слабых сторон модуля непрерывности [2], является то, что при его вычислении требуется коммутируемость операторов, используемых в задаче. Этот факт значительно сужает класс задач, к которым применим модуль непрерывности.В настоящей статье предложен численный алгоритм для оценки решения некорректной задачи. Предложенный в работе подход позволяет значительно расширить класс задач, к которым он применим, а также получить точность оценки, не уступающую той, которая могла бы быть получена с помощью модуля непрерывности обратного оператора. Постановка задачиЮжно-Уральский государственный университет, г. ЧелябинскМодуль непрерывности обратного оператора приводит к минимизации невыпуклого функционала. На практике модуль непрерывности может быть вычислен для очень узкого класса задач. Главной трудностью при его вычислении является коммутируемость входящих в задачу операторов. Так как это условие в реальных задачах редко выполняется, то возникла необходимость в численных алгоритмах для оценки погрешности.Предложен численный алгоритм для оценки приближенного решения операторного уравнения первого рода, полученного методом невязки, не использующий модуль непрерывности обратного оператора. Показано, что эта оценка погрешности не хуже оценки, использующей модуль непрерывности обратного оператора. Предложенный в работе подход позволяет значительно расширить класс задач, к которым он применим, а также получить точность оценки, не уступающую той, которая могла бы быть получена с помощью модуля непрерывности обратного оператора.Ключевые слова: регуляризация, метод невязки, оценка погрешности, некорректная задача.