The optimal graph partitioning problem

Abstract

In this paper we consider the problem of partitioning the set of nodes in a graph in at mostp classes, such that the sum of node weights in any class is not greater than the class capacity b, and such that the sum of edge weights, for edges connecting nodes in the same class, is maximal. This problem can be formulated as a MILP, which turns out to be completely symmetrical with respect to the p classes, and the gap between the relaxed LP solution and the optimal solution is the largest one possible. These two properties make it very difficult to solve even smaller problems. In this paper it is shown how it is possible to preassign certain nodes to certain classes, thus reducing both the symmetric nature of the formulation, the number of variables and constraints and the gap. It is also shown how the gap can be reduced even further by introducing combinatorial cuts. Computational results based on the two formulations of the problem and combinatorial cuts are presented.Zusammenfassung. In dieser Arbeit behandeln wir das Problem der Partionierung der Knotenmenge eines Graphen in h6chstens p Klassen, so dab die Summe der Knotengewichte jeder Klasse nicht gr66er als eine Klassenkapazit~it b ist und die Summe der Kantengewichte fiar alle Kanten, die Knoten einer Klasse verbinden, maximal wird. Dieses Problem kann als MILP formuliert werden, es erweist sich als vollst~indig symmetrisch beziiglich der p Klassen, und die Lticke zwischen der L6sung der LP-Relaxation und der Optimall6sung ist so gro6 wie m6glich. Aufgrund dieser beiden Eigenschaften ist schon die L6sung kleiner Probleme schwierig. Wir zeigen in dieser Arbeit M6glichkeiten, bestimmte Knoten vorweg gewissen Klassen zuzuordnen, um damit sowohl die Symmetrie-Eigenschaft der Formulierung als auch die Anzahl der Variablen und Nebenbedingungen und damit die Ltieke zu reduzieren. Weiterhin zeigen wir, wie die Lticke durch Einfiihrung kombinatorischer Schnitte weiter reduziert werden kann. Die Ergebnisse numerischer Untersuchungen werden pr~isentiert.

Reformulated acyclic partitioning for rail-rail containers transshipment

“…Also, the number of clusters may be fixed. Holm and Sørensen (1993) present a branch-and-cut algorithm for this case, where cuts are added to the formulation to avoid equivalent solutions. Branch-and-price methods based on different formulations and ways of solving the subproblems are implemented in Johnson, Mehrotra, and Nemhauser (1993) and Mehrotra and Trick (1998) .…”