The jacobi integral in nonholonomic mechanics

Abstract

In this paper we discuss conditions for the existence of the Jacobi integral (that generalizes energy) in systems with inhomogeneous and nonholonomic constraints. As an example, we consider in detail the problem of motion of the Chaplygin sleigh on a rotating plane and the motion of a dynamically symmetric ball on a uniformly rotating surface. In addition, we discuss illustrative mechanical models based on the motion of a homogeneous ball on a rotating table and on the Beltrami surface.MSC2010 numbers: 70F25, 37J60, 70E18

An inhomogeneous Chaplygin sleigh

“…В работе [11] рассмотрено движение саней Чаплыгина (v 0 = 0) на вращающей-ся плоскости. В этом случае редуцированная система также обладает положениями равновесия, соответствующими равномерному вращению саней.…”

Historical and critical review of the development of nonholonomic mechanics: the classical period

“…Первый период: до работы Герца 1894 года и создания общей концепции неголономных систем В этот период были рассмотрены различные постановки задачи о качении без про-скальзывания твердого тела (восходящей к Л. Эйлеру и С. Пуассону). В качестве примера укажем трактат С. Ирншоу [34] (1844), в котором рассмотрено движение однородного шара на вращающейся плоскости (исследуемое до сих пор в современной литературе [16]). …”

Dynamics of the Chaplygin ball on a rotating plane

“…In this paper, we consider the motion of the Chaplygin ball on a horizontal plane which rotates with constant angular velocity. An explicit generalization of the energy integral in this case was presented in [27], although this integral can easily be obtained on the basis of the results of [11]. Moreover, this problem admits an area integral, an integral of squared angular momentum, and an invariant measure.…”