The connectedness of weakly and strongly efficient solution sets of nonconvex vector equilibrium problems

Abstract

In this paper, we consider nonconvex vector equilibrium problems, and discuss the properties of their efficient solution sets. First, based on the Hiriart-Urruty oriented distance function, we introduce a new nonlinear scalarization function, and study its continuity properties. Then, we propose various concepts of connectedness for a vector-valued mapping, and discuss their relationships. Finally, we use these concepts to study sufficient conditions of the nonemptyness and connectedness of weakly and strongly efficient solution sets of such problems via the scalarization method and/or conditions related to the triangle inequality.

Tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu yếu cho bài toán tối ưu vector không lồi

“…Nói một cách tổng quát, điều kiện liên thông của tập nghiệm đảm bảo cho việc di chuyển liên tục từ một nghiệm hữu hiệu này sang một nghiệm hữu hiệu khác và do đó trong nhiều trường hợp tính chất này có thể sử dụng thay cho tính lồi đặc biệt là trong thuật giải. Vì vai trò quan trọng của chủ đề này nên nó đã được nghiên cứu rộng rãi cho nhiều lớp bài toán trong tối ưu hóa, chẳng hạn như bài toán cân bằng vector (Han & Huang, 2018;Xu & Zhang, 2018), bài toán bất đẳng thức biến phân vector (Cheng, 2001;Huong et al, 2017), bài toán tối ưu vector (Gong, 1994;Sun, 1996;Han & Huang, 2018;Han et al, 2019;Anh et al, 2022).…”

“…Theo nghĩa nào đó, giả thiết này có vẻ nặng hơn kết quả thu được của tập nghiệm, hơn nữa khi xem xét tính chất nghiệm của bài toán tối ưu hai mức giả thiết này dẫn đến điều kiện lồi của tập nghiệm bài toán tối ưu ràng buộc (bài toán tối ưu mức dưới). Do đó, một số công trình gần đây đã đề xuất các khái niệm lồi suy rộng dựa trên các tập liên thông và dùng chúng để thiết lập điều kiện liên thông của tập nghiệm cho lớp các mô hình tối ưu không lồi (Anh et al, 2022). Mục đích chính của bài toán này là sử dụng các điều kiện lồi giảm nhẹ của tính lồi để nghiên cứu tính chất liên thông cho bài toán tối ưu vector không lồi trong không gian định chuẩn tổng quát.…”