Sur la Conjugaison Différentiable des Difféomorphismes du Cercle a des Rotations

Abstract

Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations Publications mathématiques de l'I.H.É.S., tome 49 (1979), p. 5-233 <http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1979__49__5_0> © Publications mathématiques de l'I.H.É.S., 1979, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Publications mathématiques de l'I.H.É.S. » (http:// www.ihes.fr/IHES/Publications/Publications.html) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 6 MICHAELROBERTHERMAN 2) Si/est une bijection d'un ensemble X sur lui-même, et si yzeN, / n est l'itérée n-ième de/, avec /°==Idx (i.e. l'identité de X),/" 1 est la bijection réciproque, et /-^(/-T. 3) Si (p^: X-^R, i=i, 2 sont deux fonctions, on désigne le produit de <pi et (pg par 9i.<pa (point) ; on note <pi.<pi==(<pi) 2 ; nous espérons que le lecteur ne sera pas induit en erreur avec les notations de 2). 4) Pour 9 : X-^R, et a et b dans R, a<_^<_b veut dire : pour tout xeX, a<_^x)<_b. 5) dx=m est la mesure de Lebesgue sur K 1 et aussi la mesure de Haar sur T". Si cp : T n-^R P est intégrable, on écrira indifféremment : m^ ^JT» (p dm ^JT" ^d x ' Si ACR n est w-mesurable, w(A) désigne la w-mesure de A. Dans la suite [ [j^i désigne la norme de L^T 1 , m, R). 6) R_^ i=={A:eR[;^o}= l'ensemble des réels positifs ou nuls. 7) s.e.d. est une abréviation pour « sauf pour un ensemble de points au plus dénombrable » (l'ensemble pouvant être vide). 8) Si 9 : R->R est bornée, on pose : |(p|o=sup|9M|. a;GR 9) Soit /: R->-R une fonction dérivable, de dérivée iy>o; alors Log D/'désigne Log(D/) et DLogD/=D(Log(D/)). Si <p : R->R est dérivable et îeN, z^i, alors: D9o/^(D/^) 2 =((D<p)o/^).(D/ i) 2. n-l 10) On convient d'écrire la sommation S également S. »=o i<n n) Si ;ceR, [x] désigne le plus grand entier inférieur ou égal à x et x (mod i) désigne x-[x] e [o, i [. Conjecture d'Arnold.-II existe ACT^-ÇQyZ) de mesure de Haar égale à i, tel que si /eDiff^?(T 1) et p(/)==a£A, alors f est C^-conjugué à R^. De plus, V. I. Arnold a donné un exemple de /eDiff^T 1) tel que : p^^aeT 1-^), bien que / ne soit pas absolument conjugué à R^. Nous nous proposons dans ce mémoire de poursuivre cette étude. Déjà pour l'étude de l'équation linéarisée en l'identité de la G^-conjugaison à R^ : çeGW^-çoR.eG-Cr 1), la réponse dépend de la nature arithmétique de a (i.e. des approximations de a par les rationnels). (Noter que sur l'équation linéarisée le théorème de Denjoy semble faux!) 8 MICHAEL ROBERT HERMAN Le présent mémoire est composé de deux parties. La première partie, qui va du chapitre 1 au chapitre IX, consiste à démontrer la conjecture d'Arnold. La deuxième partie montre (par la catégorie de Baire) que les théorèmes que nous démontrons sont essenti...

Rigidity of critical circle mappings II

“…A celebrated rigidity theorem of M. Herman [5] states that any two smooth diffeomorphisms of the circle with the same Diophantine rotation number are smoothly conjugate. Herman used purely real-variable techniques to prove this theorem.…”

Exceptional minimal sets of C1+α-group actions on the circle

“…Herman gave a refined construction in [9] of the Denjoy example of class C 1+α , for any α < 1. Recently, Sullivan has observed that renormalization methods show that there are Denjoy examples in the class C 1+Λ * , where Λ * denotes the Zygmund class (cf.…”

Groups of Circle Diffeomorphisms

“…Moreover, if k ≥ 2, then for a generic subset of elements g in D ∞ there exists an increasing sequence of integers ni such that g n i converges to the identity in the C k topology. Indeed, letting dist k be a metric inducing the C k topology on Diff k + (S 1 ), the set of g ∈ D ∞ satisfying lim inf n>0 dist k (g n , Id) = 0 is a G δ -set; moreover, this set contains all g for which ρ(g) verifies a Diophantine condition [114,135,251]. One thus concludes that, for a generic g ∈ D ∞ , the sequence ( c(g n ) ) is unbounded, but it has the zero vector as an accumulation point.…”

“…However, let us point out that Denjoy's theorem does not longer hold in class C 1+τ for any τ < 1. This is a consequence of a construction due to Herman [114] which we will reproduce in §4.1.4. Before passing to the proof of Theorem 3.1.1, we would like to give an "heuristic proof" which applies in a particular but very illustrative case.…”