Supercritical Hopf equilibrium points on the boundary of the stability region

Abstract

A complete characterization of the boundary of the stability region of nonlinear autonomous dynamical systems is developed admitting the existence of a particular type of non-hyperbolic equilibrium point on the stability boundary, the supercritical Hopf equilibrium points.Under condition of transversality, it is shown that the stability boundary is comprised of all stable manifolds of the hyperbolic equilibrium points lying on the stability boundary union with the center-stable and\or center manifolds of the type-k, k ≥ 1, supercritical Hopf equilibrium points on the stability boundary.

Subcritical Hopf Equilibrium Points in Boundary of the Stability Region

“…These changes were already investigated in the occurrence of type-zero saddle-node bifurcations on the stability boundary [1], [2] and in the occurrence of type-k supercritical Hopf equilibrium points, with 1 ≤ k ≤ n − 2, [8,9].…”

Pontos de Equilíbrio Hopf Subcríticos na Fronteira da Região de Estabilidade

“…Um ponto de equilíbrio não hiperbólico p ∈ R n de (1)é chamado um ponto de equilíbrio de Hopf se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) D x f (p) tem um par simples de autovalores imaginários puros, ±iω, e nenhum outro autovalor com parte real nula; (ii) l 1 = 0, onde l 1é o Primeiro Coeficiente de Lyapunov, ver [7,8].…”

“…Embora a suposição (A1) seja genérica, o estudo da caracterização da fronteira da região de estabilidade na presença de pontos de equilíbrio não-hiperbólicosé importante para entender o comportamento da região de estabilidade, como consequência de variações de parâmetros. Essas mudanças já foram investigadas na ocorrência de bifurcações sela-nó do tipo-zero na fronteira da região de estabilidade [4], [5], e na ocorrência de pontos de equilíbrio Hopf supercríticos do tipo k, com 1 ≤ k ≤ n − 2, [7].…”