Structure of a finite non-commutative algebra set by a sparse multiplication table

Abstract

Four-dimensional finite non-commutative associative algebras represent practical interest as algebraic support of post-quantum digital signature algorithms, especially algebras with two sided global unit, set by sparse basis vectors multiplication tables. A new algebra of the latter type, set over the field GF(p), is proposed and its structure is investigated. The studied algebra is described as a set of p2 + p + 1 commutative subalgebras of three different types. All subalgebras intersect strictly in the subset of scalar vectors. Formulas are derived for the number of subalgebras of each type.

Algebraic Signature Algorithms With Complete Signature Randomization

“…Заметим, что в этой системе последние 7 уравнений задают условие принадлежности неизвестных J 0 , J 1 , … J 7 одной и той же коммутативной подалгебре, содержащейся в КНАА, используемой в качестве алгеб раического носителя. Поэтому при сведении системы (12) к системе скалярных степенных уравнений вектор J 0 задаст 4 скалярных неизвестных, а каждый из векторов J 1 , J 2 , … J 7 задаст 2 скалярные неизвестные (поскольку его координаты выражаются через координаты вектора J 0 и две переменные g,h ∈ GF (p) [12,13,21]). При таком представлении неизвестных векторов J 1 , J 2 , … J 7 последние 7 векторных уравнений в системе (12) автоматически выполняются, т. е. их можно исключить, сводя систему (12) к системе из первых восьми уравнений.…”

“…Использование четырехмерных КНАА представляет интерес, благодаря тому, что 1) они могут быть заданы по прореженным ТУБВ, для которых в формуле (2) половина слагаемых равна нулю, что существенно уменьшает вычислительную сложность операции умножений, и 2) их строение с точки зрения декомпозиции на коммутативные подалгебры достаточно хорошо изучено и показана их общность строения независим от вида ТУБВ, по которой задано умножение [13,20,21]. Для дальнейшего важны следующие два общих свойства: 1.…”

“…В качестве алгебраического носителя будем использовать одну из известных четырехмерных КНАА, заданных над полем GF(p), где простое p = 2q + 1 при 128-битном простом q, по прореженным ТУБВ, описанным, например, в работах [12,13,20,21]. Можно ожидать, что использование КНАА с размерностями m ≥ 6 может обеспечить более высокий уровень стойкости, однако, обоснование стойкости для этого случая потребует знание строения таких алгебр, которое на данный момент известно детально только для случая m = 4.…”