Statistical mechanics of two-dimensional and geophysical flows

Abstract

The theoretical study of the self-organization of two-dimensional and geophysical turbulent flows is addressed based on statistical mechanics methods. This review is a self-contained presentation of classical and recent works on this subject; from the statistical mechanics basis of the theory up to applications to Jupiter's troposphere and ocean vortices and jets. Emphasize has been placed on examples with available analytical treatment in order to favor better understanding of the physics and dynamics.After a brief presentation of the 2D Euler and quasi-geostrophic equations, the specificity of two-dimensional and geophysical turbulence is emphasized. The equilibrium microcanonical measure is built from the Liouville theorem. Important statistical mechanics concepts (large deviations, mean field approach) and thermodynamic concepts (ensemble inequivalence, negative heat capacity) are briefly explained and described.On this theoretical basis, we predict the output of the long time evolution of complex turbulent flows as statistical equilibria. This is applied to make quantitative models of twodimensional turbulence, the Great Red Spot and other Jovian vortices, ocean jets like the GulfStream, and ocean vortices. A detailed comparison between these statistical equilibria and real flow observations is provided.We also present recent results for non-equilibrium situations, for the studies of either the relaxation towards equilibrium or non-equilibrium steady states. In this last case, forces and dissipation are in a statistical balance; fluxes of conserved quantity characterize the system and microcanonical or other equilibrium measures no longer describe the system.

Generalized Stochastic Fokker-Planck Equations

“…Two-dimensional turbulence has the striking property of organizing spontaneously into long-lived coherent structures (vortices or jets) [81]. A statistical theory of 2D turbulence has been developed by Miller [82] and Robert and Sommeria [83] for isolated systems.…”

Equilibrium states of finite-dimensional approximations of a two-dimensional incompressible inviscid fluid

“…Это обстоятельство сильно затрудняет отыскание среднего поля ω путем осреднения по време-ни (2.32). Обычную процедуру осреднения по времени можно дополнить процедурой ис-ключения дрейфа вихря [11], но это скорее инженерный подход; нас же интересуют именно математические преобразования. Для галёркинских приближений при конечном разреше-нии существование предела (2.32) следует из теоремы Бирхгофа -Хинчина [19].…”

“…Добавлением в правую часть уравнения (1.1) мелкомасштабной диссипации мы прихо-дим к задаче о разрушающейся турбулентности: Мелкомасштабная диссипация в разрушающейся турбулентности (1.11) практически не изменяет уровень энергии (энстрофия при этом диссипируется значительно [36]) на харак-терных временах формирования крупномасштабных течений по причине того, что в дву-мерном случае каскад энергии направлен в сторону крупных масштабов [20]. Поэтому, в от-личие от трехмерной турбулентности, где каскад энергии направлен в мелкие масштабы, в двумерном случае возможно образование квазиравновесных состояний [11]. Если задать произвольные начальные данные, то, согласно большинству численных расчетов, система приходит в квазиравновесное состояние, которое состоит из небольшого количества круп-ных вихрей.…”

A statistical mechanics approach to mixing in stratified fluids

“…Chavanis (2002). Subsequent work on the theoretical foundations of the approach, as well as on the analytical and numerical computation of equilibrium states is reviewed in Sommeria (2001); Majda & Wang (2006); Bouchet & Venaille (2012). The theory introduces a truncation for the vorticity field, leading to unrealistic vorticity fluctuations at small scale, but it provides quantitative predictions for the mean velocity field at large scale.…”