Statistical Inference for the Generalized Pareto Distribution: Maximum Likelihood Revisited

Chaouche, Ali; Bacro, Jean-Noel

doi:10.1080/03610920500501429

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“…del Castillo and Daoudi (2009) explain in details the anomalous behavior of the Likelihood surface of a GPD and explicit the problem of potential mis-specification for small samples. Facing this issue, Chaouche and Bacro (2006) propose a modification of the Likelihood equation in order to avoid convergence failure. Furthermore, MLE may end with erratic nonsensical solutions when the Shape-parameter of a GEV is close to −1/2 (Diebolt et al, 2008).…”

Section: Complementary Methods For Parametric Tail-index Estimations mentioning

confidence: 99%

Extreme Volatilities, Financial Crises and L-Moment Estimations of Tail Indexes

Maillet¹,

Mdecin²

2009

SSRN Journal

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Following Bali and Weinbaum (2005) and Maillet et al. (2010), we present several estimates of volatilities computed with high-and low-frequency data and complement their results using additional measures of risk and several alternative methods for Tail-index estimation. The aim here is to confirm previous results regarding the slope of the tail of various risk measure distributions, in order to define the high watermarks of market risks. We also produce synthetic general results concerning the method of estimation of the Tail-indexes related to expressions of the L-moments. Based on estimates of Tail-indexes, retrieved from the high frequency 30' sampled CAC40 French stock Index series from the period 1997-2009, using Non-parametric Generalized Hill, Maximum Likelihood and various kinds of L-moment Methods for the estimation of both a Generalized Extreme Value density and a Generalized Pareto Distribution, we confirm that a heavy-tail density specification of the Log-volatility is not necessary.

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Section: Complementary Methods For Parametric Tail-index Estimations mentioning

confidence: 99%

Extreme Volatilities, Financial Crises and L-Moment Estimations of Tail Indexes

Maillet¹,

Mdecin²

2009

SSRN Journal

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“…2 une "falaise" bordant la surface de vraisemblance (d'équation β = -max(x)ξ); si l'algorithme de prospection s'approche trop de cette falaise, ce qui arrive surtout lorsque le "vrai" ξ est négatif, il s'effondre et la fiabilité du résultat est franchement mauvaise. L'approche proposée par Chaouche & Bacro (2006) évite cette recherche à l'aveuglette, en concentrant celle-ci sur l'intervalle dans lequel se trouve la solution; elle consiste: (a) dans un premier temps à déterminer le signe de la solution ρ de l'équation (6) (ce signe est tout simplement celui de la statistique m 2 (x) -2m 1 2 (x) où m k (x) désigne le moment empirique d'ordre k de x); (b) puis par une méthode itérative, sans échec, à approcher avec une précision fixée à l'avance, la solution ρ. Dans la suite nous appelons estimation standard la procédure à deux temps décrite cidessus.…”

Section: Algorithme De Recherche De La Solution Du Maximum De Vraisemunclassified

Incertitude d'estimation des pluies extrêmes du pourtour méditerranéen: illustration par les données de Marseille

Bacro

Chaouche²

2006

Hydrological Sciences Journal

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Résumé Le modèle de renouvellement-dépassement est un modèle statistique fréquemment utilisé en hydrologie pour l'estimation de quantiles extrêmes. D'un point de vue théorique, cette modélisation stipule que les dépassements d'un seuil suffisamment élevé se distribuent, sous des hypothèses générales d'indépendance et d'homogénéité, selon une famille de lois paramétriques dites lois de Pareto généralisées, pour laquelle la loi exponentielle est un cas particulier. En pratique, très souvent, la loi exponentielle est imposée dans la modélisation et l'homogénéité n'est pas soumise à examen. L'importance pratique de ces hypothèses de modélisation est mise en évidence. L'ensemble de la démarche s'appuie sur les pluies journalières observées à Marseille durant 127 années. Des approches descriptives simples des cumuls journaliers à Marseille montrent que l'hypothèse d'homogénéité n'est pas admissible; admettre celle-ci conduit à minimiser les quantiles d'ordre élevé et peut avoir des conséquences dramatiques; si on s'en libère, ces quantiles augmentent considérablement et l'incertitude attachée à leur estimation, analysée dans cet article, rend tout à fait plausibles les records historiques observés en des sites du pourtour méditerranéen. On conclut en particulier que les pluies extrêmes à Marseille ne peuvent pas être assimilées à des réalisations d'une loi de Gumbel.Mots clefs distribution de Pareto généralisée; domaine d'attraction; hétérogénéité; modèle de renouvellement-dépassement; pluies extrêmes; quantiles Uncertainty in the estimation of extreme rainfalls around the Mediterranean Sea: an illustration using data from Marseille Abstract The peaks-over-threshold (POT) method is a usual statistical model for hydrologists working on extreme quantiles estimation. From a theoretical point of view, the model assumes, under some general hypotheses of independence and homogeneity, that the excesses over a sufficiently high threshold are distributed as a particular family of parametric laws called generalized Pareto distributions, of which the exponential distribution is a particular case. In practice, the exponential law is often imposed while the homogeneity is assumed. As shown in the paper, such model assumptions are of real importance for applications. A set of 127 years of daily rainfalls at Marseille is used to illustrate how to apply these assumptions in practice. Usual descriptive analysis shows the heterogeneity of the data. Assuming homogeneity leads to an underestimation of high quantiles, which could induce dramatic consequences in practice. Taking into account the data heterogeneity leads to a considerable increase of the estimated values. The uncertainty attached to these values, analysed in the paper, allows one then to reach some of the historical floods recorded in the Mediterranean region. A particular result is the following: the extreme daily rainfalls at Marseille are not in the Gumbel law domain.

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“…in Table 1 to avoid the very occasional failure of the Newton-Raphson algorithm when the sample size is this small. Chaouche and Bacro (2006) discuss some related issues associated with solving numerically for the MLE of the GPD parameter vector. Each part of our experiment uses 50,000 Monte Carlo replications.…”

Section: Simulation Resultsmentioning

confidence: 99%

Bias-corrected maximum likelihood estimation of the parameters of the generalized Pareto distribution

Giles

Feng

Godwin

2015

Communications in Statistics - Theory and Methods

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We derive analytic expressions for the biases, to O(n -1 ) of the maximum likelihood estimators of the parameters of the generalized Pareto distribution. Using these expressions to bias-correct the estimators is found to be extremely effective in terms of bias reduction, and generally results in a small reduction in relative mean squared error. In general, the analytic bias-corrected estimators are also found to be superior to the alternative of bias-correction via the bootstrap.

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Statistical Inference for the Generalized Pareto Distribution: Maximum Likelihood Revisited

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Extreme Volatilities, Financial Crises and L-Moment Estimations of Tail Indexes

Extreme Volatilities, Financial Crises and L-Moment Estimations of Tail Indexes

Incertitude d'estimation des pluies extrêmes du pourtour méditerranéen: illustration par les données de Marseille

Bias-corrected maximum likelihood estimation of the parameters of the generalized Pareto distribution

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