Spectral gaps of Schrödinger operators with periodic singular potentials

Djakov, Plamen; Mityagin, Boris

doi:10.4310/dpde.2009.v6.n2.a1

Cited by 32 publications

(58 citation statements)

References 84 publications

(187 reference statements)

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

Section: 2mentioning

confidence: 97%

See 1 more Smart Citation

Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and 1D Dirac operators

Djakov

Mityagin

2012

Journal of Functional Analysis

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

We study the system of root functions (SRF) of Hill operator Ly = −y + vy with a singular (complexvalued) potential v ∈ H −1 per and the SRF of 1D Dirac operator Ly = i 1 0Q 0 , subject to periodic or anti-periodic boundary conditions. Series of necessary and sufficient conditions (in terms of Fourier coefficients of the potentials and related spectral gaps and deviations) for SRF to contain a Riesz basis are proven. Equiconvergence theorems are used to explain basis property of SRF in L p -spaces and other rearrangement invariant function spaces.

show abstract

Section: 2mentioning

confidence: 97%

“…In the papers [34,7,8,11,21] we analyzed the relationship between smoothness of a potential v in (2) and the rate of "decay" of sequences of spectral gaps γ n = λ + n − λ − n (4) and deviations δ n = μ n −…”

Section: 2mentioning

confidence: 99%

Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and 1D Dirac operators

Djakov

Mityagin

2012

Journal of Functional Analysis

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…We also consider the spectrum of the operator [9,16,21,25,30] for a more detailed discussion. This spectrum, referred to as the Dirichlet spectrum of q, is known to be discrete and to be given by a sequence of eigenvalues (µ n ) n 1 , counted with multiplicities and ordered lexicographically so that…”

Section: Spectral Theory Of Schrödinger Operatorsmentioning

confidence: 99%

On the wellposedness of the KdV/KdV2 equations and their frequency maps

Kappeler¹,

Molnar²

2018

Ann. Inst. H. Poincaré C Anal. Non Linéaire

View full text Add to dashboard Cite

In form of a case study for the KdV and the KdV2 equations, we present a novel approach of representing the frequencies of integrable PDEs which allows to extend them analytically to spaces of low regularity and to study their asymptotics. Applications include convexity properties of the Hamiltonians and wellposedness results in spaces of low regularity. In particular, it is proved that on H s the KdV2 equation is C 0 -wellposed if s 0 and illposed (in a strong sense) if s < 0.

show abstract

“…Из теоре-мы 2.28 следует аналоги теорем 2.10 -2.13 для шкалы пространств H ϕ (Γ), ϕ ∈ RO. Это устанавливается с помощью тех же рассуж-дений, что и в п. Вещественные пространства Хермандера на окружности, где функ-ции задаются тригонометрическими рядами Фурье, использовались в работах Й. Пёшеля [215], П. Б. Джакова и Б. С. Митягина [25,149], В. А. Михайлеца и В. Н. Молибоги [198,199]. Эти пространства тесно связаны с пространствами периодических вещественных функций, вве-денных А. И. Степанцом [107,108].…”

Section: гл 2 пространства хермандера на многообразииunclassified

Hörmander Spaces, Interpolation, and Elliptic Problems

Mikhailets¹,

Murach²

2014

169

View full text Add to dashboard Cite

Гл. 1. Интерполяция и пространства Хермандера ли пространства X 0 , X 1 сепарабельны и справедливо непрерывное плотное вложение X 1 ֒→ X 0 .Пусть задана допустимая пара X = [X 0 , X 1 ] гильбертовых пространств. Как известно [41, c. 22; 116, c. 251], для X суще-ствует такой изометрический изоморфизм J : X 1 ↔ X 0 , что J является самосопряженным положительно определенным опера-тором в пространстве X 0 с областью определения X 1 . Оператор J называется порождающим для пары X. Этот оператор определя-ется парой X однозначно. В самом деле, пусть оператор J 1 также порождающий для пары X. Тогда операторы J и J 1 метрически равны: Ju X 0 = u X 1 = J 1 u X 0 для любого u ∈ X 1 . Кроме того, эти операторы положительно определены. Отсюда следует, что они равны:плотное линейное многообразие в пространстве X 0 . Интерполяция с функциональным параметром 23Замечание 1.1. Пусть функции ϕ, ψ ∈ B такие, что ϕ ≍ ψ в окрестности ∞. Тогда в силу определения множества B справед-ливо ϕ ≍ ψ на Spec J. Следовательно, X ϕ = X ψ с точностью до эквивалентности норм. (Как обычно, выражение ϕ ≍ ψ означа-ет, что обе функции ϕ/ψ и ψ/ϕ ограничены на соответствующем множестве; при этом функции ϕ и ψ предполагаются положитель-ными.)Иначе говоря, параметр ψ интерполяционный тогда и только тогда, когда отображение X → X ψ является интерполяционным функтором, заданным на категории допустимых пар X гильбер-товых пространств [9, с. 41; 112, c. 18]. Если параметр ψ интер-поляционный, то будем говорить, что пространство X ψ получе-но интерполяцией с функциональным параметром ψ допустимой пары X.Далее мы исследуем основные свойства отображения X → X ψ . Вложения пространствИзучим некоторые свойства интерполяции, связанные с вло-жениями пространств.допустимая пара гильбертовых пространств. Тогда верны непрерывные плотные вложения X 1 ֒→ X ψ ֒→ X 0 .Доказательство. В силу сказанного выше осталось дока-зать существование непрерывного плотного вложения X 1 ֒→ X ψ . 24 Гл. 1. Интерполяция и пространства ХермандераРассмотрим ограниченные операторы вложения I : X 1 → X 0 и I : X 1 → X 1 . Поскольку параметр ψ интерполяционный, они вле-кут ограниченность оператора вложения I : X 1 → X ψ , т. е. непре-рывность вложения X 1 ֒→ X ψ .Докажем его плотность. Возьмем произвольное u ∈ X ψ . То-Остается заметить, чтоТеорема 1.1 доказана.Теорема 1.2. Пусть функции ψ, χ ∈ B такие, что функция ψ/χ ограничена в окрестности ∞. Тогда для каждой допусти-мой пары X = [X 0 , X 1 ] гильбертовых пространств справедли-во непрерывное и плотное вложение X χ ֒→ X ψ . Если вложение X 1 ֒→ X 0 компактно и ψ(t)/χ(t) → 0 при t → ∞, то вложение X χ ֒→ X ψ также компактно.Доказательство. Пусть J порождающий оператор для па-ры X. Заметим, что Spec J ⊆ [r, ∞) для некоторого числа r > 0. По условию ψ(t)/χ(t) ≤ c при t ≥ r, следовательно,Отсюда на основании определения пространств X χ и X ψ получаем непрерывность вложения X χ ֒→ X ψ . Докажем его плотность. Рассмотрим изометрические изоморфизмы ψ(J) :Тем самым доказана плотность вложения X χ ֒→ X ψ . Предположим теперь, что вложениеПусть E t ,...

show abstract

Spectral gaps of Schrödinger operators with periodic singular potentials

Cited by 32 publications

References 84 publications

Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and 1D Dirac operators

Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and 1D Dirac operators

On the wellposedness of the KdV/KdV2 equations and their frequency maps

Hörmander Spaces, Interpolation, and Elliptic Problems

Contact Info

Product

Resources

About