Specialization to the tangent cone and Whitney equisingularity

Abstract

Let (X, 0) be a reduced, equidimensional germ of an analytic singularity with reduced tangent cone (C X,0 , 0). We prove that the absence of exceptional cones is a necessary and sufficient condition for the smooth part X 0 of the specialization to the tangent cone ϕ : X → C to satisfy Whitney's conditions along the parameter axis Y. This result is a first step in generalizing to higher dimensions Lê and Teissier's result for hypersurfaces of C 3 which establishes the Whitney equisingularity of X and its tangent cone under these conditions. Résumé (Spécialisation sur le cône tangent et équisingularité à la Whitney) Soit (X, 0) un germe de singularité analytique complexe, réduit et équidimensionel tel que son cône tangent (C X,0 , 0) est réduit. On montre que l'absence des cônes exceptionnels est une condition nécessaire et suffisante pour que la partie lisse X 0 de la spécialisation sur le cône tangent ϕ : X → C satisfasse les conditions de Whitney le long l'axe des paramètres Y. Ce résultat est un premier pas vers la généralisation aux dimensions supérieures du résultat de Lê et Teissier pour les hypersurfaces de C 3 qui établit la équisingularité à la Whitney de X et son cône tangent sous ces conditions.