Solutions of the Fokker–Planck equation for a Morse isospectral potential

Polotto, Franciele; Araujo, M. T.; Filho, Elso Drigo

doi:10.1088/1751-8113/43/1/015207

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“…Assim, essa abordagem tem motivado muitos estudos e estendido a compreensão sobre diversos sistemas quânticos (vide, por exemplo, Ref. [3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][20]). …”

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Operadores-escada generalizados para sistemas quânticos

Batael

Silva

et al. 2017

Rev. Bras. Ensino Fís.

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A superálgebra vem sendo aplicada na resolução de diversos problemas quânticos. Ela permite, por exemplo, obter soluções para potenciais exatamente solúveis e ampliar a construção de operadores de criação e destruição. Neste trabalho, o método de construção dos operadores-escada generalizadosé revisado e usado para obter os autovalores de energia e as autofunções de dois potenciais, a partícula em uma caixa unidimensional e o potencial de Rosen-Morse unidimensional. Palavras-chave: supersimetria; mecânica quântica; shape invariance; operadores-escada generalizados; partícula em uma caixa; potencial de Rosen-Morse.Supersymmetry has been applied to obtain the solution of several kinds of quantum problems. For example, it allows us to solve the Schrödinger equation and to introduce the creation and annihilation operators. In this work, the method to obtain the generalized ladder operators is revised and it is used to determine the energy eigenvalues and the eigenfunctions for two potentials, a particle in a box and the one-dimensional Rosen-Morse potential. Keywords: supersymmetry; quantum mechanics; shape invariance; ladder operators; particle in a box; RosenMorse potential. IntroduçãoEm estudos envolvendo sistemas descritos pela Mecânica Quântica, podemos fazer uso do formalismo da supersimetria para a resolução da equação de Schrödinger [1,2]. Em comparaçãoà resolução direta da equação de Schrödinger independente do tempo, este formalismo permite, por exemplo, uma simplificação dos cálculos e atacar outros tipos de problemas, como aqueles envolvendo potenciais parcialmente solúveis [3][4][5][6]. Assim, essa abordagem tem motivado muitos estudos e estendido a compreensão sobre diversos sistemas quânticos (vide, por exemplo, 11] e usando a chamada Shape Invariance do potencial [1,2,9,10,[12][13][14][15][16].Em potenciais para os quais nãoé possível determinar soluções analíticas exatas, a superálgebra aindaéútil como suporte nos métodos aproximativos, tais como perturbativo [1], aproximação WKB [13] e variacional [2,3,18]. Recentemente, a superálgebra tem sido empregada para auxiliar a solução da equação de Fokker-Planck [18,20] e para a obtenção de funções de onda teste (ansatz) para o estudo de interações intermoleculares [17,19].Problemas que envolvem sistemas quânticos em que os potenciais tratados são invariantes na sua forma funcional por transformações de supersimetria (shape invariant) podem ser resolvidos via superálgebra usando os operadores-escada generalizados [9,12] que atuam simultaneamente na coordenada espacial e no parâmetro da shape invariance.E oportuno lembrar que a construção de operadoresescada permite determinar estados coerentes [22][23][24][25] para os sistemas estudados. Em termos didáticos, os estados coerentes são discutidos na referência [26], enquanto a aplicação deste formalismo pode ser vista, por exemplo, nas referências [27] e [28]. Esses estados encontram aplicação em diferentes contextos, sendo particularmente importantes emóptica quântica [29,30].Neste trabalhoé feito uma revis...

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Section: Introductionunclassified

“…Recentemente, a superálgebra tem sido empregada para auxiliar a solução da equação de Fokker-Planck [18,20] e para a obtenção de funções de onda teste (ansatz) para o estudo de interações intermoleculares [17,19].…”

Section: Introductionunclassified

Operadores-escada generalizados para sistemas quânticos

Batael

Silva

et al. 2017

Rev. Bras. Ensino Fís.

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“…This function can be identified as the derivative of a potential function V (x): f (x) = −∂V (x)/∂x. Different methods for treating the Fokker-Planck equation have been suggested as, for example, its association with a Schrödinger type equation [2,7]. However, there are only a few cases where the equation (1.1) has an exact analytical solution.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Approximate solution for Fokker-Planck equation

Araujo¹,

Filho²

2015

Condens. Matter Phys.

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In this paper, an approximate solution to a specific class of the Fokker-Planck equation is proposed. The solution is based on the relationship between the Schrödinger type equation with a partially confining and symmetrical potential. To estimate the accuracy of the solution, a function error obtained from the original Fokker-Planck equation is suggested. Two examples, a truncated harmonic potential and non-harmonic polynomial, are analyzed using the proposed method. For the truncated harmonic potential, the system behavior as a function of temperature is also discussed.

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“…O formalismo resultante da Mecânica Quântica Supersimétrica [2], tem sido usado com muito sucesso na análise tanto de problemas quânticos quanto de problemas biológicos [10]; no tratamento de potenciais exatamente, [15], e parcialmente solúveis, [4].…”

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“…No presente trabalhoé mostrado o uso dos métodos de fatorização e supersimetria para a solução da equação diferencial que descreve esse sistema. Como esperado, os resultados são análogosàqueles obtidos por outros métodos.O formalismo resultante da Mecânica Quântica Supersimétrica [2], tem sido usado com muito sucesso na análise tanto de problemas quânticos quanto de problemas biológicos [10]; no tratamento de potenciais exatamente, [15], e parcialmente solúveis, [4]. …”

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Solução da partícula livre em 3D através dos métodos de fatorização e supersimetria

Freitas¹,

Filho²

2015

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. Neste trabalho são utilizados os métodos de fatorização e supersimetria em mecânica quântica para estudar a partícula livre tridimensional. Através desse estudo, notamos que há a possibilidade da construção da hierarquia de hamiltonianos e com isso a solução através dos métodos mais comumente apresentados na literaturaé recuperada. Palavras-chave. fatorização, supersimetria, poço de potencial tridimencional. IntroduçãoPoços de potenciais podem ser utilizados para descrever desde moléculas biológicas até estruturas eletrônicas, como exemplo podemos citar modelos de estruturas semicondutoras, geralmente contruídas por arsenídio de gálio (GaAs) [1].Tradicionalmente em livros de mecânica quântica [3] o estudo da partícula livre 3D e tratado resolvendo-se diretamente a equação de Schrödinger, ou seja, determinando as autofunções e autovalores através da resolução direta dessa equação diferencial de segunda ordem. No presente trabalhoé mostrado o uso dos métodos de fatorização e supersimetria para a solução da equação diferencial que descreve esse sistema. Como esperado, os resultados são análogosàqueles obtidos por outros métodos.O formalismo resultante da Mecânica Quântica Supersimétrica [2], tem sido usado com muito sucesso na análise tanto de problemas quânticos quanto de problemas biológicos [10]; no tratamento de potenciais exatamente, [15], e parcialmente solúveis, [4].

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