Solução do tipo peakon para uma equação evolutiva de terceira ordem

Abstract

Resumo Neste trabalho, mostramos que uma equação evolutiva de terceira ordem que admite a solução Soliton, admite também a solução do tipo Peakon.Palavras-chave. Equação evolutiva, simetrias de Lie, Soliton, Peakon. IntroduçãoImagine que você está sentado em um parque, e que nesse parque passe um rio raso, de forma que seu comprimento seja muito maior que sua largura. Suponha que você esteja distante o suficiente para enxergar um pato nadando sobre o rio. Em um dado momento o pato para de nadar e fica boiando, o que provoca naágua uma pequena onda que começa a percorrer o rio no sentido ao qual o pato estava nadando. Essa onda se mantem, aos seus olhos inalterada com respeito a velocidade, amplitude e altura. Depois de se afastar consideravelmente do pato, a onda simplesmente se dissipa. Esse fenômeno foi estudado por Russel em 1834, e posteriormente por Korteweg e seu aluno G de Vries em 1885, veja [4]. A equação que descreve tal fenômenoé dada por u t − uu x − u xxx = 0 eé conhecida por equação de Korteweg-de Vries, ou simplesmente equação de KdV. A equação de KdV possui a soluçãoqueé chamada soliton. Em um recente trabalho [5], os autores procuravam equações admitindo soluções deste tipo usando algoritmos genéticos para a busca. Eles esperavam obter, como um primeiro exemplo, a própria equação KdV. Todavia, descobriram acidentalmente a equação u t + 2a u u x u xx − au xxx = 0,

A family of wave equations with some remarkable properties

“…An important question raised in [42] is if, for some , equation (1) could be transformed into the KdV equation. We answered this question positively: actually, the response is just equation (38). Moreover, we also exhibited a Lax pair for it.…”

“…Originally, we had thought that equation (1) would have peakon solutions for any values of , see [38]. However, a little later we surprisingly found out that it was not the case: peakons would only be admitted if = 0.…”

“…As pointed out before, we make use of Theorem 5.1 for finding solutions to (1). Actually, the theorem itself imposes a restriction on the parameters of (1): a = 1 and a = 3/2, which correspond to the completely integrable equation (38).…”

“…is a solution to equation (38). Solution (51) is a bounded and monotonic solitary wave (see Figure 5), that is, a kink solution.…”

“…Therefore, the 1-soliton solution (47) of (38) is "transformed", through Theorem 5.1, into the kink solution (51). Viceversa, the solution u(x, t) of the equation (38), given by (51), is mapped as w(x, t), given by equation (47), through transformation (37).…”