Sobolev Homeomorphisms and Composition Operators

Abstract

We study invertibility of bounded composition operators of Sobolev spaces. The problem is closely connected with the theory of mappings of finite distortion. If a homeomorphism ϕ of Euclidean domains D and D ′ generates by the composition rule ϕ * f = f • ϕ a bounded composition operator of Sobolev spaces ϕ * :, p > n − 1, has finite distortion and Luzin N -property then its inverse ϕ −1 generates the bounded composition operator from

Universal conformal weights on Sobolev spaces

“…The detailed study of composition operators on Sobolev spaces was carried out in [24]. The composition operators on Sobolev spaces in the limit case p = ∞ were studied in [10,11].…”

О Регулярности Отображений, Обратных К Соболевским

“…Если в предложении 5 отображение ϕ : Ω → Ω ′ -гомеомор-физм, то получается утверждение, аналогичное сформулированному в работах [59], [60]. Приводимое ниже доказательство достаточности отличается от дан-ного в [59], [60] возможностью обобщить его на отображения классов Соболева со значениями в метрическом пространстве [61]. Отметим, что оценки на норму ∥Dϕ( · ) | L q (Ω)∥ в этих работах не установлены.…”

“…В работах [59], [60] утверждение теоремы 6 в случае p = ∞, q n − 1 доказано при более сильном предположении: вместо условия 2 тео-ремы 6 авторы работ [59], [60] требуют, чтобы гомеоморфизм ϕ имел конечное искажение и обладал N -свойством Лузина.…”

Brennan's conjecture for composition operators on Sobolev spaces

“…A detailed study of composition operators on Sobolev spaces was given in [32]. The composition operators on Sobolev spaces in the limit case p = ∞ were studied in [7,8].…”

“…Remarks: 1. The theorem was proved for homeomorphisms in the case 1 ≤ q < p < ∞ in [25] and for the limit case p = ∞ in [7,8].…”