Résolution du problème des arcs de Nash pour une famille d’hypersurfaces quasi-rationnelles

Abstract

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Familles d'espaces de m -jets et d'espaces d'arcs

“…Soient π : V → V la désingularisation de la Proposition 4.6, E une composante irréductible de la fibre exceptionnelle de π et α un K-arc qui n'est pas concentré en 0 tel que le relèvement α de α à V est transverse à E. De plus, on suppose que α(0) est le point générique de E. Alors, on a : i) si le diviseur E est le diviseur E 0 , alors le vecteur principal µ du K-arc α est le vecteur ρ 0 = (p, p, 1, 1) ; ii) si le diviseur E est le diviseur E i,j , 1 ≤ i ≤ q, 1 ≤ j ≤ p − 1, alors le vecteur principal µ du K-arc α est le vecteur ρ j = (p − j, p − j, 1, 1) ; Démonstration. La démonstration est analogue à celle de la Proposition 2.12 de l'article [LA11]. Dans le but de fournir un texte auto-contenu, nous en donnerons quand même une preuve.…”

“…Étant donné explicitement une variété V et une désingularisation π, on remarque que déterminer si une composante irréductible de la fibre exceptionnelle de π est ou non un diviseur essentiel reste un problème difficile. L'approche de Nash est donc très De nombreux mathématiciens, qu'on ne peut pas tous citer ici, ont apporté de nouvelles contributions originales à l'étude du problème de Nash, surtout dans le cas de variétés de dimension 2 et 3 (voir par exemple [LJ80], [Reg95], [GSLJ97], [LJRL99], [IK03], [Ish05], [Ish06], [PPP06], [GP07], [Mor08], [Plé08], [PPP08], [Pet09], [LA11], [FdB12], [PS12], [dFD14]). …”

The Nash problem and its solution: a survey

“…For singularities of higher dimensions, the Nash Problem enunciated as above is false, though a few positive results have been proved: in [16], S. Ishii and J. Kollar give an affirmative answer for toric varieties in all dimensions. Affirmative answers for a family of singularities in dimension higher than 2 by P. Popescu-Pampu and C. Plénat ( [32]) and another family by M. Leyton-Alvarez [23] (2011).…”

“…Before the work of Fernández de Bobadilla -Pe Pereira, the Nash problem for surfaces has been answered affirmatively in the following special cases: for A n singularities by Nash, for minimal surface singularities by A. Reguera [34] (with other proofs by J. Fernandez-Sanchez [7] and C. Plénat [29]), for sandwiched singularities by M. Lejeune-Jalabert and A. Reguera (cf. [21] and [35]), for toric vareties in all dimensions by S. Ishii and J. Kollar [16] (using earlier work of C. Bouvier and G. Gonzalez-Sprinberg [1] and [2]), for a family of non-rational surface singularities by P. Popescu-Pampu and C. Plénat ([31]), for quotients of C 2 by an action of finite group [27] by M. Pe Pereira in 2010 based on the work [5] of J. Fernández de Bobadilla (other proofs for D n in 2004 by Plénat [30], for E 6 in 2010 by C. Plénat and M. Spivakovsky [33], (with a method that works for some normal hypersurface singularities), and by M. Leyton-Alvarez (2011) for E 6 and E 7 , by applying the method for the following classes of normal hypersurfaces in C 3 : hypersurfaces S(p, h q ) given by the equation z p + h q (x, y) = 0, where h q is a homogeneous polynomial of degree q without multiple factors, and p 2, q 2 are two relatively prime integers [23]). A. Reguera [37] gave an affirmative answer to the Nash problem for rational surface singularities simultaneously and independently from the work [6].…”

Deforming spaces of m-jets of hypersurfaces singularities

“…It is important to mention that many mathematicians worked hard on this problem, making valuable progress with respect to the problem. For example: [4], [9], [12], [14], [16], [17], [18], [23], [24], [26], [27], [30], [36], [37], [38], [39], [40], [41] etc. Unfortunately it is not possible to comment on and cite all the existing works.…”