Quantum mechanics of a free particle on a plane with an extracted point

Kowalski, Krzysztof; Podlaski, Krzysztof; Rembieliński, Jakub

doi:10.1103/physreva.66.032118

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“…Concluindo, podemos dizer que as extensões autoadjuntas de um operador em mecânica quântica são relevantes em problemas que possuem topologia não-trivial, ou seja, espaços [13] onde foi retirado um ponto, uma linha ou um plano, por exemplo, espaços-tempos com singularidades cônicas (como no caso da corda cósmica [8]). Outros exemplos podem ser vistos na literatura; em [14] tem-se os estudo das extensões auto-adjuntas do hamiltoniano com potencial tipo Aharonov-Bohm-Coulomb.…”

Section: Conclusão E Considerações Finaisunclassified

Extensões auto-adjuntas de operadores em mecânica quântica

Filgueiras

Moraes

2007

Rev. Bras. Ensino Fís.

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O problema das extensões auto-adjuntas de operadores em mecânica quântica, um assunto normalmente não apresentado em livros-texto,é brevemente discutido neste trabalho. Palavras-chave: mecânica quântica, condições de contorno, extensão auto-adjunta.In this work we discuss briefly the problem of self-adjoint extensions in quantum mechanics, a subject usually not presented in textbooks. Keywords: quantum mechanics, boundary conditions, self-adjoint extension. IntroduçãoEm mecânica quântica lidamos com o fato de que um operadoré um observável quando eleé hermitiano, istó e, A = A ⊥ [1]. Contudo, o que não fica claroé que, tecnicamente, um operador será observável se ele for autoadjunto, ou seja, Aφ, ψ = φ, Aψ .(1)Enquanto não especificamos a física do problema, o que temos simplesmenteé o problema de um operador A atuando em um subespaço de Hilbert. Nesse ponto um fato nos passa despercebido: a condição (1) revela que, matematicamente, as condições de contorno para um sistema não devem ser impostas: elas entram na própria definição do operador em questão. Isso quer dizer que no domínio de tal operador teremos autofunções satisfazendo a diferentes condições de contorno. Assim, antes mesmo de especificar a física do problema, podemos fazer a seguinte pergunta: Qualé o domínio em que um operador simétrico será efetivamente autoadjunto? Com os exemplos das seções a seguir vamos deixar a mensagem de que um operador simétrico A atuando em um subespaço de Hilbert admite, na maioria dos casos, infinitas condições de contorno. A física do problemaé quem vai selecionar qualé a correta. O operador momento em um intervalo finitoVamos considerar o operador momento linear, P = −i d dx , agindo em um espaço de funções definidas no intervalo fechado [0, L]. Se seguíssemos os livros-texto, seu domínio seria escrito comoSendo um pouco mais atentos, percebemos que não dissemos nada sobre a física do problema. Apenas dissemos "um operador P atuando em um intervalo fechado [0, L]"e não "P em uma caixa unidimensional". Assim, conforme foi dito anteriormente, para que P seja observável, ele deve satisfazer a condição (1), istoé,. Assim, vemos que o domínio em que Pé autoadjunto (e, portanto, observável) será escrito como

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Section: Conclusão E Considerações Finaisunclassified

Extensões auto-adjuntas de operadores em mecânica quântica

Filgueiras

Moraes

2007

Rev. Bras. Ensino Fís.

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“…The same remarks apply, of course, to (9) defined in the next section. For a more recent discussion of this point the reader is referred to [10] and references cited therein.…”

Section: The Quantum Rodmentioning

confidence: 99%

Quantum cards and quantum rods

Batista

Peternelj

2008

Open Physics

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“…Following reference [9] we require that the wavefunctions must obey the periodicity condition ψ(θ + 2π) = e iλ2π ψ(θ),…”

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confidence: 99%

“…We can then generalize the results of Kowalski at al. [9], which studied the quantum dynamics of a free particle on a plane minus a point, to include the angular deficit which characterizes the cosmic string spacetime.Following reference [9] we require that the wavefunctions must obey the periodicity condition ψ(θ + 2π) = e iλ2π ψ(θ),where λ ∈ [0, 1). Under this condition, (n + , n − ) = (0, 0) for − ∂ 2 ∂θ 2 on L 2 (S 1 , dθ) λ/α , the Hilbert space of square integrable functions on the circle satisfying (3) and with…”

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confidence: 99%

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The bound-state Aharonov–Bohm effect around a cosmic string revisited

Filgueiras¹,

Moraes²

2007

Physics Letters A

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In this article we observe that the self-adjoint extension of the Hamiltonian of a particle moving around a shielded cosmic string gives rise to a gravitational analogue of the bound state AharonovBohm effect.PACS numbers: 98.80. Cq,11.27.+d,03.65.Vf When a quantum particle is confined between two impenetrable concentric cylindrical walls, threaded by a magnetic flux tube along their common axis, its energy spectrum presents a dependence on the flux. This is the so-called bound state Aharonov-Bohm effect [1]. A gravitational analogue of this effect, with a cosmic string replacing the flux tube, has been studied in references [2,3]. This is a topological effect which also appears around disclinations in elastic solids [4]. In this article we revisit the bound state gravitational Aharonov-Bohm effect from the point of view of self-adjoint extensions of the Hamiltonian, without need of a confining wall.Fermions in the presence of an Aharonov-Bohm field may have a bound state appearing from the self-adjoint extension of the Dirac Hamiltonian, as shown in [5], for a specific range of the extension parameter. As shown in the detailed analysis of Kay and Studer [6], a bound state may appear for a quantum particle moving about a cosmic string due to the self-adjoint extension of its Hamiltonian. On the other hand, the presence of walls may also lead to interesting effects related to the selfadjoint extensions as well [7]. In this article we analyze the idealized situation of a free non-relativistic quantum particle in the presence of a cosmic string and therefore, moving in the background spacetime of metricshielded by an impenetrable cylindrical wall, of radius a, concentric with the string. In equation (1) the angle θ may vary in the range [0, 2π] and the parameter α = 1 − 4Gµ < 1, where µ is the string linear mass density, characterizes the string. α effectively introduces an angular deficit 2π(1 − α) in the Minkowski geometry. The motion of the particle is governed by the Hamiltonian in cylindrical coordinatesSince we are effectively excluding a cylindrical portion of the space accessible to the particle we must guarantee that the Hamiltonian is self-adjoint in the region of with dimensions n + and n − , respectively, which are called deficiency indices of H. A necessary and sufficient condition for H to be self-adjoint is that n + = n − = 0. On the other hand, if n + = n − ≥ 1 then H has an infinite number of self-adjoint extensions parametrized by a unitary n × n matrix, where n = n + = n − .It is obvious that (n + , n − ) = (0, 0) for − ∂ 2 ∂z 2 on L 2 (R), the Hilbert space of square integrable functions on R. Therefore − ∂ 2 ∂z 2 is essentially self-adjoint. This being considered, we have also that translational invariance along the string axis (z-direction) reduces the problem to effectively two spacial dimensions.Since the typical size of a cosmic string radius is of the order of the GUT length scale (10 −30 cm) we can make the radius of the shielding cylinder a → 0 without loss of generality. Effectively...

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Quantum mechanics of a free particle on a plane with an extracted point

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Extensões auto-adjuntas de operadores em mecânica quântica

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