Product structures on four dimensional solvable Lie algebras

Abstract

It is the aim of this work to study product structures on four dimensional solvable Lie algebras. We determine all possible paracomplex structures and consider the case when one of the subalgebras is an ideal. These results are applied to the case of Manin triples and complex product structures. We also analyze the three dimensional subalgebras.

Однородные Пара-Кэлеровы Многообразия Эйнштейна

“…В частности, в работе [24] получена классификация левоинвариантных пара-гиперкомплексных структур на четырехмерных груп-пах Ли. При некоторых дополнительных предположениях такие структуры были описаны в [27].…”

“…В [22]- [26] дано много других интересных примеров ле-воинвариантных гиперсимплектических структур на разрешимых группах Ли. Все такие структуры на 4-мерных группах Ли классифицированы в [24].…”

“…Существует естественное взаимно однозначное соответствие между инвариантными пара-комплексными структурами K на однородном многообразии G/H полупростой группы Ли G, являющемся накрытием полупростой присоединенной орбиты M = Ad G (h), и Ad H -инва-риантными фундаментальными градуировками (23) алгебры Ли g с g 0 = h. Градуировка (23) определяет пара-комплексную структуру K с разложени-ем в сумму собственных распределений T M = T + + T − , где инвариантные интегрируемые распределения T ± задаются подпространствами m ± , опреде-ляемыми равенством (24).…”

Transformation groups on real plane and their differential invariants

“…A list of isomorphism classes of the Lie algebras is in use of many authors for different purposes, for example, [1,2,5,12,33,34,36]. But the problem of unification and correction of the existing lists (see, e.g., [3, 8, 20-22, 24-28, 35, 43]) is a very laborious task, even in the case of low dimensions, because the number of entries in such lists rapidly increases with growing dimension and the problem of classification of Lie algebras includes a subproblem of reduction of pair of matrices to a canonical form [16].…”

Complex product structures on 6-dimensional nilpotent Lie algebras

“…This classification, restricted to the solvable case, was also shown in [2]. The next simplest step in order to obtain a better understanding of these structures, would be the classification of the 6-dimensional nilpotent Lie algebras which admit them.…”