Principles for the design of billiards with nonvanishing Lyapunov exponents

Wojtkowski, Maciej P.

doi:10.1007/bf01205934

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“…We will use a well known formula from the geometric optics (the "mirror equation," see, e.g., [21], Lemma 1). (Fig.…”

Section: Let (La) E Tp~b M = L a T The Signed Distance D(a) = -4-1mentioning

confidence: 99%

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Caustics for inner and outer billiards

Gutkin

Katok

1995

Commun.Math. Phys.

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Abstract:With a plane closed convex curve, T, we associate two area preserving twist maps: the (classical) inner billiard in T and the outer billiard in the exterior of T. The invariant circles of these twist maps correspond to certain plane curves: the inner and the outer caustics of T. We investigate how the shape of T determines the possible location of caustics, establish the existence of open regions which are free of caustics, and estimate from below the size of these regions in terms of the geometry of T.

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“…We will use a well known formula from the geometric optics (the "mirror equation," see, e.g., [21], Lemma 1). (Fig.…”

Section: Let (La) E Tp~b M = L a T The Signed Distance D(a) = -4-1mentioning

confidence: 99%

“…Since the proof would require a discussion of general (nonconvex) caustics, we do not give it here. We refer the reader to Wojtkowski [21], page 397, for a geometric optics approach to Mather's theorem. In the rest of this section we will obtain a quantitative improvement of Theorem 1.1.…”

Section: Let (La) E Tp~b M = L a T The Signed Distance D(a) = -4-1mentioning

confidence: 99%

Caustics for inner and outer billiards

Gutkin

Katok

1995

Commun.Math. Phys.

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“…More precisely, the family of cones dx · d p > 0 is forward invariant with respect to the billiard flow in the dispersing case independent of the details of the billiard's shape. After each reflection from the billiard's boundary, the cones are mapped into each other with flipped orientation (the normal component of the momentum p changes sign, while all other components are preserved), see [31,36,34]. In particular, nearby orbits experiencing different number of reflections (i.e.…”

Section: Introductionmentioning

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Stability in High Dimensional Steep Repelling Potentials

Rapoport

Rom‐Kedar

Turaev

2008

Commun. Math. Phys.

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ABSTRACT. The appearance of elliptic periodic orbits in families of n-dimensional smooth repelling billiard-like potentials that are arbitrarily steep is established for any finite n. Furthermore, the stability regions in the parameter space scale as a power-law in 1/n and in the steepness parameter. Thus, it is shown that even though these systems have a uniformly hyperbolic (albeit singular) limit, the ergodicity properties of this limit system are destroyed in the more realistic smooth setting. The considered example is highly symmetric and is not directly linked to the smooth many particle problem. Nonetheless, the possibility of explicitly constructing stable motion in smooth n degrees of freedom systems limiting to strictly dispersing billiards is now established.

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Section: Introductionunclassified

“…Essa limitação foi resolvida por Wojtkowski, Markarian, Donnay e Bunimovich. Usando novas técnicas para estabelecer a positividade de expoentes de Lyapunov [Woj86,Mar88], eles provaram independentemente, que vários outros arcos focalizadores podem ser usados para construir bilhares hiperbólicos [Woj86, Mar88, Bun90b, Don91].As hipóteses da teoria standard de bilhares hiperbólicos de Wojtkowski, Markarian, Donnay e Bunimovich ([CM06], Teo. 9.19) requer que os círculos de semi-curvatura em qualquer ponto de uma componente focalizadora não deve intersectar outras componentes, ou o círculo de semi-curvatura relativo à outras componentes focalizadoras (em [Mar88] tem uma condição similar).…”

unclassified

Propriedade de Bernoulli para bilhares hiperbólicos com fronteiras focalizadoras quase planas

Andrade¹

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Primeiramente, agradeço a Deus por me conduzir às pessoas certas para a realização deste trabalho. Em particular, ao Rodrigo Bissacot pela sua orientação, dedicação e disponibilidade desde o início do meu doutorado. Ao Roberto Markarian, pelo convite ao Uruguai, onde quase toda parte do trabalho foi desenvolvida lá sob sua supervisão, paciência e hospitalidade.Aos meus pais Manoel e Inês, por estarem sempre presente pessoalmente ou via skype nos momentos que eu mais precisei. Sem o carinho e incentivo de vocês, esse trabalho nada seria. Família é tudo! Ao meu irmão e amigo de quarto Plinio, pela convivência e conselhos ao longo desses anos.À minha irmã pelo amor e apoio incondicional.À minha namorada Juliana por saber entender o que é a vida de um doutorando.Ao meu amigo de instituto Edgardo, muito obrigado pelo apoio e amizade.Um agradecimento especial é devido também aos membros da banca examinadora pelas sugestões e correções do texto. Neste trabalho, mostramos que os bilhares hiperbólicos construídos originalmente por BussolariLenci têm a propriedade de Bernoulli. Tais bilhares não satisfazem as técnicas standard de WojtkowskiMarkarian-Donnay-Bunimovich para bilhares focalizadores hiperbólicos, a qual requer que o diâme-tro da mesa do bilhar seja de mesma ordem que o maior raio de curvatura ao longo da componente focalizadora. Nossa prova, utiliza um teorema ergódico local que nos diz que sob certas condições, existe um conjunto de medida total do espaço de fase do bilhar tal que cada ponto desse conjunto possui uma vizinhança contida (mod 0) em uma componente Bernoulli da aplicação do bilhar. In this work, we show that hyperbolic billiards constructed originally by Bussolari-Lenci has the Bernoulli property. These billiards do not satisfy the standard Wojtkowski-Markarian-DonnayBunimovich technique for the hyperbolicity of focusing or mixed billiards in the plane, which requires the diameter of a billiard table to be of the same order as the largest ray of curvature along the focusing boundary. Our proof employs a locally ergodic theorem which says that under a few conditions, there exists a full measure set of the billiard phase space such that each of its points has a neighborhood contained, up to a zero measure set, in one Bernoulli component of the billiard map.Keywords: Hyperbolic Billiards, Ergodicity, Bernoulli property. IntroduçãoUm bilhar planar é o sistema mecânico consistindo de um ponto material movendo livremente no interior de um domínio conexo Ω ⊂ R 2 com fronteira diferencial por partes, e refletindo sobre ∂Ω de modo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.O estudo das dinâmicas desordenadas no bilhar está diretamente relacionado com a conhecida Hipótese Ergódica de Boltzmann formulada há mais de cem anos pelo físico alemão Ludwing Boltzmann. Tal Hipótese é parte de um modelo mecânico para explicar as propriedades dos gases.As características específicas dos bilhares aparecem quando o papel da fronteira (curvatura, posição relativa, etc.) é muito mais importante que o da va...

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Principles for the design of billiards with nonvanishing Lyapunov exponents

Abstract: We introduce a large class of billiards with convex pieces of the boundary which have nonvanishing Lyapunov exponents.

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Caustics for inner and outer billiards

Caustics for inner and outer billiards

Stability in High Dimensional Steep Repelling Potentials

Propriedade de Bernoulli para bilhares hiperbólicos com fronteiras focalizadoras quase planas

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