Propriedade de Bernoulli para bilhares hiperbólicos com fronteiras focalizadoras quase planas

Abstract

Primeiramente, agradeço a Deus por me conduzir às pessoas certas para a realização deste trabalho. Em particular, ao Rodrigo Bissacot pela sua orientação, dedicação e disponibilidade desde o início do meu doutorado. Ao Roberto Markarian, pelo convite ao Uruguai, onde quase toda parte do trabalho foi desenvolvida lá sob sua supervisão, paciência e hospitalidade.Aos meus pais Manoel e Inês, por estarem sempre presente pessoalmente ou via skype nos momentos que eu mais precisei. Sem o carinho e incentivo de vocês, esse trabalho nada seria. Família é tudo! Ao meu irmão e amigo de quarto Plinio, pela convivência e conselhos ao longo desses anos.À minha irmã pelo amor e apoio incondicional.À minha namorada Juliana por saber entender o que é a vida de um doutorando.Ao meu amigo de instituto Edgardo, muito obrigado pelo apoio e amizade.Um agradecimento especial é devido também aos membros da banca examinadora pelas sugestões e correções do texto. Neste trabalho, mostramos que os bilhares hiperbólicos construídos originalmente por BussolariLenci têm a propriedade de Bernoulli. Tais bilhares não satisfazem as técnicas standard de WojtkowskiMarkarian-Donnay-Bunimovich para bilhares focalizadores hiperbólicos, a qual requer que o diâme-tro da mesa do bilhar seja de mesma ordem que o maior raio de curvatura ao longo da componente focalizadora. Nossa prova, utiliza um teorema ergódico local que nos diz que sob certas condições, existe um conjunto de medida total do espaço de fase do bilhar tal que cada ponto desse conjunto possui uma vizinhança contida (mod 0) em uma componente Bernoulli da aplicação do bilhar. In this work, we show that hyperbolic billiards constructed originally by Bussolari-Lenci has the Bernoulli property. These billiards do not satisfy the standard Wojtkowski-Markarian-DonnayBunimovich technique for the hyperbolicity of focusing or mixed billiards in the plane, which requires the diameter of a billiard table to be of the same order as the largest ray of curvature along the focusing boundary. Our proof employs a locally ergodic theorem which says that under a few conditions, there exists a full measure set of the billiard phase space such that each of its points has a neighborhood contained, up to a zero measure set, in one Bernoulli component of the billiard map.Keywords: Hyperbolic Billiards, Ergodicity, Bernoulli property. IntroduçãoUm bilhar planar é o sistema mecânico consistindo de um ponto material movendo livremente no interior de um domínio conexo Ω ⊂ R 2 com fronteira diferencial por partes, e refletindo sobre ∂Ω de modo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.O estudo das dinâmicas desordenadas no bilhar está diretamente relacionado com a conhecida Hipótese Ergódica de Boltzmann formulada há mais de cem anos pelo físico alemão Ludwing Boltzmann. Tal Hipótese é parte de um modelo mecânico para explicar as propriedades dos gases.As características específicas dos bilhares aparecem quando o papel da fronteira (curvatura, posição relativa, etc.) é muito mais importante que o da va...