Positifitas dan Ketercapaian Sistem Linier Fractional Waktu Kontinu

Abstract

This paper studies a solution of the fractional continuous-time linier system. Necessary and sufficient condition were established for the internal and external positivity of fractional systems. Sufficient conditions are given for the reachability of fractional positive systems.Keywords: fractional systems, positive systems, reachability PENDAHULUAN Sudah menjadi familiar, ketika fenomena dalam kehidupan sehari-hari sering dimodelkan dalam persamaan differensial. Beberapa model matematika yang telah dipublikasikan, berupa sistem persamaan differensial dengan orde n, ݊ ‫א‬ Գ. Oleh sebab itu, sebagian besar pemerhati matematika sudah familiar dengan notasi-notasiௗ௫ , ݊ ‫א‬ Գ. Lantas, bagaimana saat orde dari persamaan differensial tersebut bukan bilangan bulat, tetapi real bahkan kompleks,bagaimana aplikasi dari persamaan differensial tersebut, apakah hanya sekedar fantasi matematika saja.Fractional Calculus merupakan salah satu topik dalam matematika yang mengkaji integral atau differensial dengan sebarang orde (Podlubny, 1999 : 42 Pada paper ini, dibicarakan dua aspek penting terkait sistem linier fractional waktu kontinu, yaitu dari sisi kuantitatif maupun kualitatif. Mengenai aspek kuantitatif akan dibicarakan solusi dari sistem, sedangkan aspek kualitatif akan dikaji positifitas dan ketercapaian pada sistem tersebut. Dalam pembahasannya, disertai beberapa contoh aplikatif tentang sirkuit elektronika, yang didasarkan pada hasil penelitian Dzieliński.Beberapa notasi yang digunakan dalam paper ini, diantaranya himpunan matriks nxm atas bilangan riil dinotasikan Թ ௫ , dan Թ ؔ Թ ௫ଵ . Himpunan matriks mxn atas bilangan riil yang entri-entrinya nonnegatif dinotasikan Թ ା ௫ , dan Թ ା ؔ Թ ା ௫ଵ . Suatu matriks A dengan entri nonnegatif dinotasikan dengan ‫ܣ‬ 0, dan matriks identitas nxn dinotasikan dengan ‫ܫ‬ . KAJIAN TEORIPada subbab ini, terlebih dahulu akan dipaparkan beberapa alat-alat yang digunakan untuk menyelesaikan solusi dari sistem linier fractional waktu kontinu.Definisi 1 (Chen, 1984 : 56) Diberikan fungsi(1) asalkan integral (1) ada untuk setiap s yang lebih besar atau sama dengan suatu nilai ‫ݏ‬ . Dari definisi diatas, dapat dihasilkan beberapa sifat transformasi Laplace, seperti sifat konvolusi, yaitu: Jika ‫ܨ‬ ଵ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ࣦሾ݂ ଵ ሺ‫ݐ‬ሻሿ, ‫ܨ‬ ଶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ࣦሾ݂ ଶ ሺ‫ݐ‬ሻሿ maka ࣦ ቂ‫‬ ݂ ଵ ሺ‫ݐ‬ െ ߬ሻ݂ ଶ ሺ߬ሻ݀߬ ௧ ቃ ൌ ‫ܨ‬ ଵ ሺ‫ݏ‬ሻ‫ܨ‬ ଶ ሺ‫ݏ‬ሻ.

Proses Scaffolding Berdasarkan Kesalahan Peserta Didik Dalam Pemecahan Masalah Volume Benda Putar

“…Matematika merupakan ilmu yang mendasari perkembangan teknologi modern dan mempunyai peran penting dalam mengembangkan berbagai disiplin ilmu serta mengembangkan daya pikir manusia. Integral merupakan salah satu topik dalam matematika yang sangat penting dan banyak diterapkan secara luas pada cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain, misalnya pemodelan matematika, kontrol optimal (Fahcruddin, 2019), dan sistem dinamik (Fahcruddin, 2011). Topik integral mulai dipelajari pada jenjang pendidikan sekolah menengah atas atau yang sederajat dengan tiga kompetensi dasar, yaitu (1) Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu, (2) Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana, (3) Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar (Sugiman, 2013).…”