Polinômio dos quadrados mínimos condicionado

Abstract

O ajustamento polinomial a dados experimentais pelo método de quadrados mínimosé muito usado, e aqui estudamos a introdução de uma simples modificação, que, em certos casos,é mais adequada, istoé, condicionamos o polinômio a conter um dado ponto. Incluímos uma implementação do correspondente algoritmo em Matlab. Palavras-chave: ajustamento, quadrados mínimos, condicionamento.Since the least-squares polynomial fit is used very often, we study here a simple modification that is more suitable for some cases, that is, we constrain the polynomial to pass through a given point, besides satisfying the least-squares property. We include an implementation of the corresponding algorithm in Matlab. Keywords: data fitting, least squares, constraint. IntroduçãóE popular o ajustamento polinomial discreto dos quadrados mínimos (q. m.). Para evocar o processo desse ajustamento, consideremos os dados da Tabela 1, onde a primeira linha forma uma seqüência finita crescente.Tabela 1 -Dados a ajustar.Suponhamos que queiramos ajustar a esses dados o polinômiode ordem k ≤ n dos q. m. A melhor maneira de obter a soluçãoé o uso daálgebra linear como segue. Começamos gerando a matriz de planejamento (designde ordem (n + 1) × (k + 1), determinada pelo vetorA soluçãoúnica (porque Xé não-singular) da equação normal (3), o uso da matriz de planejamento pode levar a imprecisões uma vez que X se torna mal-condicionada quando sua ordemé alta. No entanto, isso nãoé relevante na maioria dos casos práticos, onde dificilmente a ordem do polinômio ajustadoé maior que 3.O desenvolvimento mais completo da teoria e solução numérica dos quadrados mínimos foi feita por Ake Björck em [2], mas pode ser encontrado em muitos bons livros deálgebra linear, como [3,4,5]. Uma introdução rápida sobre a solução dos q. m. encontra-se em [6].Façamos aqui uma pequena digressãoútil. Na estimativa da solução Xa = y mediante o método dos q. m.,é convenienteàs vezes ponderar essa estimativa, istó e, usar e equação normal ponderada