Penalized contrast estimator for adaptive density deconvolution

Comte, Fabienne; Rozenholc, Yves; Taupin, Marie-Luce

doi:10.1002/cjs.5550340305

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“…Cet estimateur a l'avantage d'être optimal au sens minimax asymptotique fin (voir [2]) mais ne fournit d'estimateur adaptatif que dans des cas particuliers. C'est pourquoi nous nous intéressonségalementà l'estimateur de projection introduit dans [4].…”

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“…Pour cet estimateur, le calcul du rique intégré est présenté dans [4] (voir la proposition 2.2 ci-dessous). Un estimateur adaptatif peut ensuiteêtre défini en utilisant une technique de sélection de modèles (voir [4] pour les détails).…”

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“…Un estimateur adaptatif peut ensuiteêtre défini en utilisant une technique de sélection de modèles (voir [4] pour les détails). On peut observer que les deux estimateurs ont les mêmes vitesses de convergence, qui s'obtiennent en minimisant l'ordre du risque.…”

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Rates of convergence for nonparametric deconvolution

Lacour

2006

Comptes Rendus. Mathématique

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This Note presents original rates of convergence for the deconvolution problem. We assume that both the estimated density and noise density are supersmooth and we compute the risk for two kinds of estimators. RésuméVitesses de convergence en déconvolution nonparamétrique. Cette Note présente des vitesses de convergence originales pour le problème de déconvolution. On suppose que la densité estimée ainsi que la densité du bruit sont ✭✭ supersmooth ✮✮ et on calcule le risque pour deux types d'estimateurs.Version française abrégée On considère le problème de déconvolution suivant : Le cadre d'hypothèses est le suivant. Notons, pour toute fonction u, u * la transformée de Fourier de u : u * (x) = e ixt u(t)dt. On suppose que le bruit est tel que pour tout x de R, f * ε (x) = 0 et qu'il satisfait l'hypothèse suivante :Email address: lacour@math-info.univ-paris5.fr (Claire LACOUR). Preprint submitted to Elsevier Science 17 septembre 2017On suppose de plus que g appartientà l'espace h). Le risque ponctuel (noté MSE) et le risque intégré (notée MISE) sontétablis dans [2] (voir la proposition 2.1 ci-dessous). Cet estimateur a l'avantage d'être optimal au sens minimax asymptotique fin (voir [2]) mais ne fournit d'estimateur adaptatif que dans des cas particuliers. C'est pourquoi nous nous intéressonségalementà l'estimateur de projection introduit dans [4].SoitPour cet estimateur, le calcul du rique intégré est présenté dans [4] (voir la proposition 2.2 ci-dessous). Un estimateur adaptatif peut ensuiteêtre défini en utilisant une technique de sélection de modèles (voir [4] pour les détails). On peut observer que les deux estimateurs ont les mêmes vitesses de convergence, qui s'obtiennent en minimisant l'ordre du risque. On est alors ramenéà résoudre l'équation suivante exp( 2b h s + 2a h r )h α = O(n) où α = r − 2δ − 2γ − 1 lorsque l'on considère l'erreur intégrée et α = −2δ − 2γ + (s − 1) + lorsque l'on considère l'erreur ponctuelle. Dans la plupart des cas, la solution de cetteéquation est bien connue (voir Tables 1 et 2). Seul le cas r > 0, s > 0 n'a pasété complètement résolu. C'est ce cas qui estétudié ici : les vitesses sont données explicitement dans le théorème 3.1.Trois cas sontà différencier : r = s, r < s et r > s. Si r estégalà s, les vitesses (ponctuelles et intégrées) sont en n −a/(a+b) modifiées par un facteur logarithmique. Si r est différent de s, on observe un phénomène original : les vitesses dépendent de l'intervalle ]k/(k + 1), (k + 1)/(k + 2)], k ∈ N auquel appartient r/s ou s/r. Si r est strictement inférieurà s (biais dominant), le terme principal est d'ordre exp[b 0 (ln n) r/s ] avec b 0 = −2a/(2b) r/s , et si r est strictement supérieurà s (variance dominante), le terme principal estAinsi ces vitesses originales décroissent plus vite que n'importe quelle fonction logarithmique. De plus elles sont optimales lorque les bornes inférieures correspondantes sont connues, c'est-à-dire r = s = 1 2 (voir [11]) et r < s (voir[2]). Il està noter qu'étant donné la complexité de ces vitesses, il est r...

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Rates of convergence for nonparametric deconvolution

Lacour

2006

Comptes Rendus. Mathématique

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“…This estimator is classical in the sense that it corresponds both to a kernel estimator built with the sinc kernel (see Butucea (2004)) or to a projection type estimator as in Comte et al (2006). Now, f * ε is unknown and we have to estimate it.…”

Section: Estimation Proceduresmentioning

confidence: 99%

Pointwise deconvolution with unknown error distribution

Comte

Lacour

2010

Comptes Rendus. Mathématique

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This note presents rates of convergence for the pointwise mean squared error in the deconvolution problem with estimated characteristic function of the errors. RésuméDéconvolution ponctuelle avec distribution de l'erreur inconnue. Cette note présente les vitesses de convergence pour le risque quadratique ponctuel dans le problème de déconvolution avec fonction caractéristique des erreurs estimée.

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“…This is a form of a statistical inverse problem. Following [4] and [9], we define the empirical risk functional as…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

On a dense minimizer of empirical risk in inverse problems

Podlewski¹,

Szkutnik²

2016

OpMath

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Abstract. Properties of estimators of a functional parameter in an inverse problem setup are studied. We focus on estimators obtained through dense minimization (as opposed to minimization over δ-nets) of suitably defined empirical risk. At the cost of imposition of a sort of local finite-dimensionality assumption, we fill some gaps in the proofs of results published by Klemelä and Mammen [Ann. Statist. 38 (2010), 482-511]. We also give examples of functional classes that satisfy the modified assumptions.

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Penalized contrast estimator for adaptive density deconvolution

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Rates of convergence for nonparametric deconvolution

Rates of convergence for nonparametric deconvolution

Pointwise deconvolution with unknown error distribution

On a dense minimizer of empirical risk in inverse problems

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