Rates of convergence for nonparametric deconvolution

Abstract

This Note presents original rates of convergence for the deconvolution problem. We assume that both the estimated density and noise density are supersmooth and we compute the risk for two kinds of estimators. RésuméVitesses de convergence en déconvolution nonparamétrique. Cette Note présente des vitesses de convergence originales pour le problème de déconvolution. On suppose que la densité estimée ainsi que la densité du bruit sont ✭✭ supersmooth ✮✮ et on calcule le risque pour deux types d'estimateurs.Version française abrégée On considère le problème de déconvolution suivant : Le cadre d'hypothèses est le suivant. Notons, pour toute fonction u, u * la transformée de Fourier de u : u * (x) = e ixt u(t)dt. On suppose que le bruit est tel que pour tout x de R, f * ε (x) = 0 et qu'il satisfait l'hypothèse suivante :Email address: lacour@math-info.univ-paris5.fr (Claire LACOUR). Preprint submitted to Elsevier Science 17 septembre 2017On suppose de plus que g appartientà l'espace h). Le risque ponctuel (noté MSE) et le risque intégré (notée MISE) sontétablis dans [2] (voir la proposition 2.1 ci-dessous). Cet estimateur a l'avantage d'être optimal au sens minimax asymptotique fin (voir [2]) mais ne fournit d'estimateur adaptatif que dans des cas particuliers. C'est pourquoi nous nous intéressonségalementà l'estimateur de projection introduit dans [4].SoitPour cet estimateur, le calcul du rique intégré est présenté dans [4] (voir la proposition 2.2 ci-dessous). Un estimateur adaptatif peut ensuiteêtre défini en utilisant une technique de sélection de modèles (voir [4] pour les détails). On peut observer que les deux estimateurs ont les mêmes vitesses de convergence, qui s'obtiennent en minimisant l'ordre du risque. On est alors ramenéà résoudre l'équation suivante exp( 2b h s + 2a h r )h α = O(n) où α = r − 2δ − 2γ − 1 lorsque l'on considère l'erreur intégrée et α = −2δ − 2γ + (s − 1) + lorsque l'on considère l'erreur ponctuelle. Dans la plupart des cas, la solution de cetteéquation est bien connue (voir Tables 1 et 2). Seul le cas r > 0, s > 0 n'a pasété complètement résolu. C'est ce cas qui estétudié ici : les vitesses sont données explicitement dans le théorème 3.1.Trois cas sontà différencier : r = s, r < s et r > s. Si r estégalà s, les vitesses (ponctuelles et intégrées) sont en n −a/(a+b) modifiées par un facteur logarithmique. Si r est différent de s, on observe un phénomène original : les vitesses dépendent de l'intervalle ]k/(k + 1), (k + 1)/(k + 2)], k ∈ N auquel appartient r/s ou s/r. Si r est strictement inférieurà s (biais dominant), le terme principal est d'ordre exp[b 0 (ln n) r/s ] avec b 0 = −2a/(2b) r/s , et si r est strictement supérieurà s (variance dominante), le terme principal estAinsi ces vitesses originales décroissent plus vite que n'importe quelle fonction logarithmique. De plus elles sont optimales lorque les bornes inférieures correspondantes sont connues, c'est-à-dire r = s = 1 2 (voir [11]) et r < s (voir[2]). Il està noter qu'étant donné la complexité de ces vitesses, il est r...

Estimation of convolution in the model with noise

“…For ℓ = 1, the rates corresponding to this case, are implicit solutions of optimization equations (see Butucea and Tsybakov (2008)) and recursive formula are given in Lacour (2006). Explicit polynomial rates can be obtained, and also rates faster than logarithmic but slower than polynomial.…”

On a Plug-In Wavelet Estimator for Convolutions of Densities

“…See e.g. Caroll and Hall (1988), Fan (1991), Fan and Liu (1997), Pensky and Vidakovic (1999), Fan and Koo (2002), Butucea and Matias (2005), Comte et al (2006), Delaigle and Gijbels (2006) and Lacour (2006). However, to the best of our knowledge, the general problem i.e.…”

On the adaptive wavelet deconvolution of a density for strong mixing sequences

“…Caroll and Hall (1988), Comte, Rozenholc, and Taupin (2006), Delaigle and Gijbels (2006), Fan (1991), Fan and Liu (1997), Fan and Koo (2002), Hall and Qiu (2005), Lacour (2006) and Pensky and Vidakovic (1999), to mention just a few. Since the independent assumption on (Y v ) v∈Z is not realistic for some applications, several authors have investigated the dependent case.…”