Parallel QR algorithm for the complete eigensystem of symmetric matrices

Algoritmos de Altas Prestaciones para el Cálculo de la Descomposición en Valores Singulares y su Aplicación a la Reducción de Modelos de Sistemas Lineales de Control

“…Como resultado de su investigación, Mollar concluye que las prestaciones obtenidas con el método de Drmaµ c y con el método de Golub-Sølna-van Dooren son "muy similares" y además, mucho mejores que las prestaciones obtenidas con el método de Kogbetliantz implícito. Sin embargo, en el método de Drmaµ c es calculado explícitamente el producto de las matrices que previamente son transformadas, pero el método no está descrito para su extensión para el cálculo de la matriz bidiagonal superior del producto de cualquier número de matrices reales cuadradas, cómo ocurre con el método de Golub-Sølna-van Dooren. Desarrollar implementaciones secuenciales y paralelas para calcular los valores propios de la matriz tridiagonal simétrica, con altas prestaciones. Además, desarrollar un estudio comparativo entre una implementación paralela con comunicaciones basada en [Demmel et al, 1995], y una implementación paralela sin comunicaciones basada en [Ralha, 2006].…”

“…Se ha desarrollado una adaptación del método zeroinNR propuesto por Ralha en su tesis doctoral [Ralha, 1990], al cálculo de los valores propios de la matriz tridiagonal simétrica, y cuya implementación paralela tiene por objetivo no emplear comunicaciones [Ralha, 2006], [Campos et al, 2008b], [Ralha y Campos, 2008].…”

“…A continuación se exponen las ideas novedosas presentadas por Ralha en [Ralha, 2006], para el progreso de una implementación paralela destinada a sistemas de memoria distribuida, en la cual los valores propios de la matriz tridiagonal simétrica son calculados con el método zeroinNR y empleando una metodología sin comunicaciones.…”

“…En estas condiciones, en [Demmel et al, 1995] se ha propuesto una técnica alternativa y que es la misma que sigue Ralha en [Ralha, 2006], la cual está orientada a valores propios y no a intervalos con valores propios, o sea, cada uno de los p procesadores va a tener que calcular más o menos el mismo número de valores propios, en concreto, n p valores propios, donde por simplicidad se asume que n p es un número entero. Así, el procesador i (i = 0; : : : ; p 1) va a calcular los valores propios…”

“…Intentando resolver los retos planteados por Demmel, Dhillon y Ren, pero manteniendo los mismos objetivos, en 2006, Ralha presentó las ideas que se describen a continuación, donde la idea fundamental es, en lugar de cada procesador calcular el valor (i) y recibir, por comunicación, el valor (i) , cada procesador va a tener que calcular (i) y (i) . En ese sentido, la idea base propuesta en [Ralha, 2006] es la de suprimir todos los mecanismos de comunicación que están descritos en [Demmel et al, 1995], aunque para ello se obligue a que los procesadores realicen algunos cálculos computacionales redundantes.…”