Paires de structures stables

Abstract

Le paradigme de théorie stable est la théorie T d'un corps algébriquement clos; une autre théorie stable T′ est celle de la structure formée d'un corps algébriquement clos, avec en outre un symbole relationnel unaire interprétant un de ses sous-corps propres algébriquement clos. C'est à l'éclaircissement des rapports de T et de T′ qu'est consacré cet article.J'y considère une théorie complète T stable, et les structures formées d'un modèle N de T, avec en outre un symbole relationnel unaire (x) interprétant une restriction élémentaire M de N; j'appelle ces structures paires de modèles de T.Et je dis que la paire (N, M) est belle si d'une part M est ∣T∣+-saturé, et d'autre part pour tout n-uplet ā d'éléments de N, tout type, au sens de T, sur M ⋃ {α} est réalisé dans N.Le premier résultat (Théorème 4) est que deux belles paires sont élémentairement équivalentes. Plus précisément, si (N1, M1) et (N2, M2) sont deux belles paires, et si ā est dans la première, b¯ dans la seconde, le fait que le type de ā sur M1 et celui de b¯ sur M2 soient équivalents dans l'ordre fondamental au sens de T suffit (et est bien sûr nécessaire) pour que ā at b¯ aient même type (sur ⊘) au sens de la théorie T′ des belles paires.

Lovely pairs of models: the non first order case

“…Assume that T is complete, and consider the language L P = L ∪ {P }. Then every two |T | + -lovely pairs are elementarily equivalent in this language, and any two free sets of cardinality ≤ |T | with the same L P -diagram have the same type (this generalises results in [Poi83,BPV03]). Indeed, since two such sets have the same P-type, they correspond by an infinite backand-forth in saturated structures.…”

“…The following is proved in [BPV03] (the analogue for beautiful pairs of models of a stable theory is proved in [Poi83]):…”

The independence property in generalized dense pairs of structures

“…This situation has been studied extensively, typically in the case where A is an elementary submodel of M [20], [3], [24] or in the context of stable theories, when the induced structure on the predicate is stable [7], [2].…”

Expansions of fields by angular functions

“…The proof we give of Theorem 3.3 uses Poizat's technology of belles paires from [8] and we begin by briefly recalling this.…”

“…Let T P G denote the L P -theory of all belles paires. As T G is stable, T P G is complete ( [8], Théorème 4) and T G has nfcp iff every ω + -saturated (in the L P -sense) model of T P G is a belle paire ( [8], Théorème 6).…”