On Tsfasman–vlăduţ Invariants of Infinite Global Fields

Abstract

Abstract. In this article we study certain asymptotic properties of global fields. We consider the set of Tsfasman-Vlȃduţ invariants of infinite global fields and answer some natural questions arising from their work. In particular, we prove the existence of infinite global fields having finitely many strictly positive invariants at given places, and the existence of infinite number fields with certain prescribed invariants being zero. We also give precisions on the deficiency of infinite global fields and on the primes decomposition in those fields.

Sur le théorème de Brauer--Siegel généralisé

“…Il est clair qu'une sous-famille infinie K ′ ⊂ K d'une famille asymptotiquement exacte l'est également, et que ses invariants φ q (K ′ ) sont alors égaux à ceux de K . On renvoie à [Leb10] et [Leb15] pour une étude plus poussée des invariants φ q (K ). Une famille asymptotiquement exacte K = (K i ) est dite asymptotiquement mauvaise si φ q (K ) = 0 pour tout q ∈ Q, et asymptotiquement bonne sinon.…”

Quelques résultats effectifs concernant les invariants de Tsfasman-Vlăduţ

“…Dans un travail précédent (voir [12]), l'auteur a démontré que, pour toute famille finie de paramètres q 1 , . .…”

“…Ce paragraphe reprend une construction antérieure de l'auteur (voir [12]). Nous allons construire un corps global ayant certains Φ p,q > 0.…”

On Invariants of Towers of Function Fields Over Finite Fields

“…Now consider the tower E/F q r defined by (16), which is studied in [6]. Then from Remark 4.1, we get over F q r , with q r a square, is optimal and from [6, Remark 3.11, Corollary 2.4], we have that β 1 (E) ≥ β 1 (T ), and so β 1 (T ) = q r/2 − 1 over F q r , 0 over F p e where F q r F p e .…”