On the local density problem for graphs of given odd-girth

Abstract

Abstract. Erdős conjectured that every n-vertex triangle-free graph contains a subset of tn{2u vertices that spans at most n 2 {50 edges. Extending a recent result of Norin and Yepremyan, we confirm this conjecture for graphs homomorphic to so-called Andrásfai graphs. As a consequence, Erdős' conjecture holds for every triangle-free graph G with minimum degree δpGq ą 10n{29 and if χpGq ď 3 the degree condition can be relaxed to δpGq ą n{3. In fact, we obtain a more general result for graphs of higher odd-girth. §1. IntroductionWe say an n-vertex graph G is pα, βq-dense if every subset of tαnu vertices spans more than βn 2 edges. Given α P p0, 1s Erdős, Faudree, Rousseau, and Schelp We say a graph G is a blow-up of some graph F , if there exists a graph homomorphism ϕ : G Ñ F with the property tx, yu P EpGq ðñ tϕpxq, ϕpyqu P EpF q. Moreover, a blow-up is balanced if the preimages ϕ´1pvq of all vertices v P V pF q have the same size.

Densidade local em grafos

“…Uma sequência de grafos (Gn) é densa se |Gn| → ∞ e e(Gn) = Ω(|Gn| 2 ). O Teorema 1.3 complementa um recente resultado de Bedenknecht, Mota, Reiher e Schacht [BMRS17] que provam que se G é homomorfo a algum grafo de Andrásfai generalizado Γ i,k então e1 /2 (G) ≤ n 2 / 2(2k + 1) 2 . O grafo de Andrásfai generalizado Γ i,k , com i, k ≥ 2 inteiros, é um grafo i-regular livre de triângulo de cintura ímpar 2k + 1 (cf.…”

“…A constante 1/64 no Teorema 1.3 poderia não ser justa. Em particular, é mais fraca que 1/98, o valor que segue do resultado em [BMRS17] antes mencionado, para k = 3. Contudo, e em contraste com o resultado em [BMRS17], a cota e1 /2 (G) ≤ n 2 /64 que garante o Teorema 1.3 independe do homomorfismo de G.…”

“…Como todo grafo bipartido de ordem n contém um conjunto independente de cardinalidade pelo menos n/2, o caso χ(G) ≤ 2 satisfaz (1.1) trivialmente. O caso χ(G) = 3 segue dos resultados de Jin [Jin93], Chen, Jin e Koh [CJK97] e do resultado principal em Bedenknecht, Mota, Reiher e Schacht [BMRS17]. Isto é, se G é livre de triângulo com grau mínimo δ(G) > n/3 e número cromático χ(G) = 3 então e1 /2 (G) ≤ n 2 /50.…”

“…Assim, destes resultados temos que, se G é livre de triângulo com δ(G) > n/3 e χ(G) = 3 então G → Γ i . Por outro lado, o resultado em [BMRS17] garante que, se G → Γ i então G satisfaz (1.1).…”

“…Teorema 2.7 (Bedenknecht, Mota, Reiher e Schacht [BMRS17]). Se G é homomorfo ao grafo de Andrásfai generalizado Γ i,k , (i ≥ 2, k ≥ 1).…”