On the Lelong–Demailly numbers of plurisubharmonic currents

Abstract

Presented by Jean-Pierre Demailly I dedicate this work to the martyrs of the Tunisian revolution, in particular to my colleague Hatem Bettaher. In this Note we study the existence of the Lelong-Demailly number of a negative plurisubharmonic current with respect to a positive plurisubharmonic function on an open subset of C n . Then we establish some estimates of the Lelong-Demailly numbers of positive or negative plurisubharmonic currents. © 2011 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. r é s u m é Dans cette Note, on étudie l'existence du nombre de Lelong-Demailly d'un courant négatif plurisousharmonique relativement à une fonction positive plurisousharmonique sur un ouvert de C n puis on donne quelques estimations des nombres de Lelong-Demailly des courants positifs ou négatifs plurisousharmoniques. Version française abrégéeL'existence des nombres de Lelong des courants positifs a été résolu par P. Lelong dans les années 1950 pour le cas des courants fermés, puis ce résultat a été étendu par Skoda au cas des courants positifs plurisousharmoniques. En revanche, il existe des courants négatifs plurisousharmoniques qui n'admettent pas de nombres de Lelong, on peut voir par exemple que log(|z 2 | 2 )[z 1 = 0] est un exemple de courant négatif plurisousharmonique de bidimension (1, 1) sur la boule unité de C 2 qui n'admet pas de nombre de Lelong en 0.Le principal objectif de cette note est de traiter le problème de l'existence des nombres de Lelong généralisés introduits par Demailly [1,2] d'un courant négatif plurisousharmonique T de bidimension (p, p) sur un ouvert Ω de C n ; pour cela on note PSH(T , Ω) l'ensemble des fonctions ϕ positives plurisousharmoniques semi-exhaustives dont le logarithme log ϕ est plurisousharmonique sur Ω, et telles que le produit extérieur T ∧ (dd c ϕ) p soit bien défini. Le nombre de Lelong-Demailly de T relativement à un poids ϕ tel que ϕ ∈ PSH(T , Ω) est ν(T , ϕ) := lim r→0 + ν(T , ϕ, r), où ν(T , ϕ, .) est la fonction définie par ν(T , ϕ, r) := 1 r p {ϕ<r} T ∧ dd c ϕ p . Le résultat principal de cette Note est : Théorème 1. Soient T un courant négatif plurisousharmonique de bidimension (p, p) sur Ω et ϕ ∈ PSH(T , Ω). Si la fonction t → ν(dd c T ,ϕ,t) t est intégrable au voisinage de 0, alors le nombre de Lelong-Demailly ν(T , ϕ) du courant T relativement à ϕ existe.

Poincaré–Lelong formula, J -analytic subsets and Lelong numbers of currents on almost complex manifolds

“…In the case when J is integrable, this reduces to a result of [4]. Moreover, it should be mentioned that in the same paper, it was shown that the above integrability condition is a sufficient condition that is not necessary.…”

On the tangent cones to plurisubharmonic currents

“…We cite the main result of [2]. [2].) Let T be a positive plurisuperharmonic current of bidimension (p, p) on Ω where 0 < p < n. We assume that T satisfies Condition (C 0 ) given by:…”

Existence of the directional tangent cone to a positive current

“…Proposition 1 (See [9]) Let S be a positive prh current of bidimension (q, q) on the ball B n (R) of C n , 0 < q < n. We assume that S satisfies the condition (C 0 ) given by Proof For 0 < r < R, we set…”

“…For a positive prh current one has the following result: Proposition 1. (See [5]) Let S be a positive prh current of bidimension (q, q) on the ball B n (R) of C n , 0 < q < n. We assume that S satisfies the condition (C 0 ) given by (C 0 ) :…”