On the invariance principle: generalizations and applications to synchronization

Rodrigues, Hildebrando M.; Alberto, Luís; Bretas, N.G.

doi:10.1109/81.847878

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“…Encontrar tal função, satisfazendo todas as suposições do princípio de invariância, pode ser difícil para muitos sistemas dinâmicos. Portanto, uma extensão do princípio de invariância, a qual permite que a derivada da função auxiliar possa ser positiva em alguns conjuntos limitados, foi proposta para sistemas contínuos em [11], para sistemas discretos em [1], para sistemas com atraso em [10] e para sistemas chaveados não lineares em [12].…”

Section: Introductionunclassified

Uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados afins

Pinto¹,

Alberto²,

Valentino³

2018

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. Neste trabalho, apresentamos uma extensão do princípio de invariância de LaSalle para uma classe de sistemas chaveados contínuos não lineares, a saber, sistemas chaveados afins. Este resultado permite estudar, usando uma função auxiliar comum, o comportamento assintótico de soluções "dwell-time"do sistema chaveado afim sob chaveamento arbitrário. A extensão do princípio de invariânciaéútil para obter estimativas de conjuntos atratores de sistemas chaveados afins. Esta utilidadeé ilustrada em aplicações deste princípio na obtenção de estimativas do atrator em um exemplo de sistemas dinâmicos de segunda ordem.Palavras-chave. Princípio de invariância de LaSalle, Sistemas chaveados contínuos Afins, conjuntos atratores,área de atração. IntroduçãoNasúltimas décadas, tem-se observado um crescente interesse da comunidade científica no estudo do problema de estabilidade e estabilização de sistemas chaveados. Estes problemas surgem em muitas aplicações de engenharia tais como: controle de sistemas mecânicos, controle de processos, sistemas de potência, controle de aeronaves, indústria automotiva, eletrônica de potência e muitos outros campos [8]. De modo geral, o sistema chaveadoé um sistema dinâmico que consiste de uma família de subsistemas (ou modos) e uma lei de chaveamento que seleciona a cada instante de tempo qual subsistema deve ser ativado [7].Apesar de importantes avanços na teoria de estabilidade, os atratores de diversos sistemas chaveados podem não ser um ponto de equilíbrio, como por exemplo o sistema de controle de temperatura liga-desliga. Então, para essa classe de problemas, o interesse nãoé estudar a estabilidade de um ponto de equilíbrio particular, mas o comportamento assintótico das soluções. Uma das ferramentas mais importantes para estudar o comportamento assintótico das soluções de sistemas dinâmicosé o Princípio de Invariância de LaSalle. Este resultado foi primeiramente desenvolvido para equações diferenciais ordinárias 1

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Section: Introductionunclassified

Uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados afins

Pinto¹,

Alberto²,

Valentino³

2018

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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“…Esta extensão foi provada para outras classes de sistemas [1,6,8,10,11]. Além da sua importância na teoria de estabilidade de sistemas dinâmicos não lineares, a extensão do princípio de 1…”

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Um Princı́pio de Invariância Uniforme para Sistemas Periódicos

Coimbra¹,

Costa²

2016

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. Uma versão uniforme do princípio de invariância de LaSalle para sistemas periódicosé proposto e demonstrado neste trabalho. Esta versãoéútil para obter estimativas uniformes, com relação aos parâmetros, do atrator e da região de atração de um sistema dinâmico periódico.Palavras-chave. Princípio de Invariância, Uniforme, LaSalle, Sistema Dinâmico, Periódico 1 Introdução O Princípio de Invariância de LaSalle [3,4] estuda o comportamento assintótico das soluções de um sistema sem a necessidade de conhecer explicitamente as soluções das equações diferenciais. Para isto, uma função escalar auxiliar, usualmente denominada função de Lyapunov,é utilizada. Mesmo sendo um resultado de extrema importância em diversas aplicações, apresenta alguns problemas, sendo o principal deles a não existência de um método específico para encontrar a função escalar auxiliar ou também chamada função de Lyapunov. Uma das condições mais restritivas na busca por esta funçãoé que a derivada da mesma deve ser semi-definida negativa ao longo das trajetórias do sistema. Em vários sistemas,é difícil encontrar uma função escalar satisfazendo as condições do princípio de invariância e em particular satisfazendo a condição da derivada ser semi-definida negativa.Uma versão mais geral do princípio de invariância, denominada extensão do princípio de invariância de LaSalle, simplifica em parte este problema, permitindo que a derivada da função escalar assuma valores positivos em algumas regiões limitadas do espaço. Esta extensão foi provada para outras classes de sistemas [1,6,8,10,11]. Além da sua importância na teoria de estabilidade de sistemas dinâmicos não lineares, a extensão do princípio de 1

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“…Entretanto, o conjunto onde a derivadaé positivaé limitado, portanto, a Extensão do Princípio de Invariância [34] pode ser aplicada para a obtenção de uma estimativa do conjunto atrativo. Para ε < 1, o conjunto de nível…”

Section: Exemplosunclassified

Section: Introductionunclassified

“…A generalização proposta neste trabalho acomoda a existência de conjuntos limites complexos na fronteira daárea de atração. Esta generalização explora propriedades de invariância da fronteira dá area de atração e a extensão do princípio de invariância de LaSalle [34].Mostra-se que toda solução na fronteira daárea de atração se aproxima de um conjunto limite quando o tempo tende ao infinito. Estes conjuntos limites ou pertencem ao conjunto onde a derivada da função energia generalizadaé nula ou interceptam conjuntos limitados onde a derivada da função energiaé positiva.…”

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Caracterização e estimativas da área de atração de sistemas dinâmicos não lineares.

Alberto¹

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• Ao Prof. Hildebrando Munhoz Rodrigues que me ensinou matemática, incluindo o Princípio de Invariância o qual tenho constantemente explorado em minha atuação como pesquisador.• Ao Prof. Hsiao-Dong Chiang por ter me introduzidoà teoria de sistemas singularmente perturbados durante minha visitaà Cornell University.• Aos meus alunos, sem os quais não haveria razão para minha profissão, pelas discussões que contribuíram significativamente para o meu aprendizado como professor e pesquisador.• Ao departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP.•À FAPESP, CAPES e CNPq que em diversas fases de minha vida profissional financiaram estas pesquisas. ResumoAtratores de sistemas dinâmicos autônomos não-lineares usualmente não são globalmente estáveis. Na maioria dos casos, existe um subconjunto de condições iniciais, chamadoárea de atração, cujas trajetórias, iniciando dentro deste conjunto, tendem para o atrator quando o tempo tende ao infinito. Caracterizar este conjunto e propor metodologias para estimá-loé o principal objetivo desta tese. Funções energia podem fornecer informações importantes a respeito dos conjuntos limites assim como daárea de atração de conjuntos atrativos de sistemas dinâmicos não lineares. Infelizmente, muitos sistemas físicos não possuem função energia ou ainda, quando possuem,é difícil expressá-la analiticamente em termos de funções elementares. As condutâncias de transferência em sistemas elétricos de potência, por exemplo, podem dar origem a ciclos limites na fronteira daárea de atração impossibilitando estes sistemas de possuírem uma função energia geral.Nesta tese, generaliza-se o conceito de função energia e estudam-se as implicações desta generalização em termos dos conjuntos limites e estimativas daárea de atração. A generalização da função energia proposta nesta tese acomoda a existência de conjuntos limites complexos, tais como ciclos limites eórbitas caóticas, na fronteira daárea de atração. Com isto, uma classe maior de problemas pode ser estudada via funções do tipo energia. Aplica-se esta generalizaçãoà estimativa daárea de atração de um sistema elétrico de potência com condutância de transferência.Além desta generalização, apresentam-se resultados parciais relacionados a caracterização da fronteira daárea de atração de sistemas singularmente perturbados. O objetivo destes resultadosé decompor as metodologias computacionais de estimativa daárea de atração e análise de estabilidade em duas fases: uma de dinâmicas rápidas e outra de dinâmicas lentas. Usualmente, se as propriedades de diferentes escalas de tempo dos sistemas singularmente perturbados não são levadas em consideração, então problemas de natureza numérica e analítica são frequentemente encontrados. Com esta decomposição espera-se obter métodos computacionais de análise de estabilidade de sistemas singularmente perturbados mais rápidos e mais robustos assim como obter estimativas menos conservadoras daárea de atração. Palavras AbstractUsually, attractive sets of autonomous nonlinear dynamical systems are not globally stabl...

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On the invariance principle: generalizations and applications to synchronization

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Uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados afins

Uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados afins

Um Princı́pio de Invariância Uniforme para Sistemas Periódicos

Caracterização e estimativas da área de atração de sistemas dinâmicos não lineares.

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