On the integrability problem for systems of partial differential equations in one unknown function, I

Abstract

We discuss the integration problem for systems of partial differential equations in one unknown function and special attention is given to the first order systems. The Grassmannian contact structures are the basic setting for our discussion and the major part of our considerations inquires on the nature of the Cauchy characteristics in view of obtaining the necessary criteria that assure the existence of solutions. In all the practical applications of partial differential equations, what is mostly needed and what in fact is hardest to obtains are the solutions of the system or, occasionally, some specific solutions. This work is based on four most enlightening Mémoires written by Élie Cartan in the beginning of the last century.Анотація. В статті вивчається проблема інтегровності систем S диференціальних рівнянь в частинних похідних від однієї невідомої функції, причому особливу увагу приділено системам першого порядку. З геометричної точки зору ми маємо систему Пфаффа так званої канонічної контактної структури, яка визначається грасмановим пучком контактних елементів певного порядку. Наш підхід є двояким: з одного боку ми використовуємо характеристики Картана для зведення проблеми до мінімальної кількості змінних, а з іншого -досліджуємо характер характеристик Коші для отримання необхідних критеріїв існування розв'язків для системи Пфаффа P = P(S), асоційованої з заданою системою рівнянь в частинних похідних S і отриманої обмеженням вищевказаної канонічної контактної структури на підмноговид S, що визначає дане рівняння. Ми також показуємо, що інтегровність системи S еквівалентна регулярності характеристик Коші пов'язаних з відповідною розмірністю.

On the integrability problem for systems of partial differential equations in one unknown function, II

“…Consequently the gender of P is at most equal to 1 contradicting the initial hypothesis. We infer that χ and ω 1 are dependent and that the relation [18,Eq. (6.2)] reduces to…”

“…We next recall, cf. Part I, [18], that a Lie vector field ξ with hamiltonian f is an infinitesimal automorphism of ω if and only if the function f is a first integral of ∆. Such a vector field ξ preserving ω will also preserve dω, thereafter preserving as well the characteristic system of dω.…”

“…The hypotheses and the notations being as above, we shall now have a closer look into the integration process of the Pfaffian system P. According to Lie and Cartan, we first have to choose convenient intermediate pseudogroups, in the present case these will be associated to structures, in such a way that the second inclusion in [18,Eq. (3.1)], extends to a Jordan-Hölder resolution.…”

“…We are thus faced in constructing Jordan-Hölder resolutions for the successive derived systems and each specific situation will exhibit its particular techniques. It might be however of some advantage to try initially integrating one of the systems that makes part of the sequence of iterated derived systems and, in this case, the chain [18,Eq. (10.3)], will already provide some useful terms.…”

“…When the Lie vector fields ξ i generate, at each point x ∈ M , a linear sub-space transverse to ξ 0 , then the linear independence of the vector fields ξ i is equivalent to that of the ξ i . We can therefore apply the criterion provided by the [18,Lemma 7.5].…”