On the Fuzzy Number Space with the Level Convergence Topology

Abstract

We characterize compact sets of E 1 endowed with the level convergence topology τ . We also describe the completion E 1 , U of E 1 with respect to its natural uniformity, that is, the pointwise uniformity U, and show other topological properties of E 1 , as separability. We apply these results to give an Arzela-Ascoli theorem for the space of E 1 , τ -valued continuous functions on a locally compact topological space equipped with the compact-open topology.The fuzzy number space E 1 is the set of elements u of F R satisfying the following properties:1 u is normal, that is, there exists an x 0 ∈ R with u x 0 1;2 u is convex, that is, u λx 1 − λ y ≥ min{u x , u y } for all x, y ∈ R, λ ∈ 0, 1 ; 2 Journal of Function Spaces and Applications 3 u is upper-semicontinuous; 4 u 0 is a compact set in R.The λ-level set u λ of u ∈ E 1 is a compact interval for each λ ∈ 0, 1 . We denote u λ u − λ , u λ . Notice that every r ∈ R can be considered a fuzzy number since r can be identified with the fuzzy number r defined as r t : 1 if t r, 0 if t / r.

Análisis y gestión del riesgo en los sistemas de información: un enfoque borroso

“…El conjunto de los números borrosos forma un espacio métrico completo con la siguiente distancia [19,25]:…”

Espacios de funciones continuas con valores difusos

“…En [20], [21] y [24], los autores estudian la topología τ y, entre otras propiedades, demuestran que (E 1 , τ ) es de Hausdorff, separable, un espacio de Baire y primer numerable. Además, una base local para u ∈ E 1 en τ es de la forma…”

“…También se ha probado una versión del Teorema de Bolzano-Weierstrass en (E 1 , d ∞ ) ( [22]) sobre las condiciones que debe cumplir una sucesión para que posea una subsucesión convergente. Cabe destacar que en ([22, Theorem 2.4]) se dio una caracterización incorrecta de los subconjuntos compactos de (E 1 , d ∞ ) que fue corregida en [24].…”

“…Una alternativa a las topologías inducidas en E 1 por las métricas que acabamos de mencionar es la topología de la convergencia de nivel, τ l , basada en los λ-cortes. Se ha demostrado que (E 1 , τ l ) es un espacio de Hausdorff, primer numerable ( [20]), separable y de Lindelöf [24]. Se sabe que dotado de su uniformidad natural, es decir, la uniformidad puntual, el espacio uniforme resultante no es un espacio uniforme completo.…”

“…Se sabe que dotado de su uniformidad natural, es decir, la uniformidad puntual, el espacio uniforme resultante no es un espacio uniforme completo. Una descripción de su compleción se puede encontrar en [24]. Cabe destacar también que los subconjuntos compactos admiten una caracterización sencilla en este contexto ([24, Theorem 2.3]) y que en [21] se da una condición necesaria y suficiente para que una red de números difusos sea convergente en la topología de la convergencia de nivel, τ l , la cual facilita su comparación con la d ∞ -convergencia.…”