On the Fermat-Torricelli Points of Tetrahedra and of Higher Dimensional Simplexes

“…This is due to the taxes, the money that the betting house gains, and sometimes, some bonus to attract the gamblers. For instance, in the vector of payments (1.6, 2.8, 7), the sum1 1.6 + 1 2.8 + 1 7 = 1.125 > 1.…”

mentioning

confidence: 99%

Geometrical aggregation of finite fuzzy sets

Campión

Catalán

Induráin

et al. 2018

International Journal of Approximate Reasoning

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…The Fermat Problem for four non-collinear and non-coplanar points A i (x i , y i , z i ) forming a tetrahedron A 1 A 2 A 3 A 4 in R 3 states that ( [2], [6], [8], [18]):…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…Kupitz, Martini, Abu-Saymeh, Hajja proved various properties of the Fermat-Torricelli point for some specific classes of tetrahedra having their opposite edges equal (isosceles tetrahedra) ( [6], [2]).…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Location of the weighted Fermat–Torricelli point on the K-plane

Zachos

2013

Analysis

View full text Add to dashboard Cite

We prove the following fundamental property for the Fermat-Torricelli point for four non-collinear and non-coplanar points forming a tetrahedron in R 3, which states that: The three bisecting lines having as a common vertex the Fermat-Torricelli point formed by each pair of equal angles, which are seen by the opposite edges of the tetrahedron meet perpendicularly at the Fermat-Torricelli point. Furthermore, we give an alternative proof, which is different from the one obtained by Bajaj and Mehlhos for the unsolvability of the Fermat-Torricelli problem for tetrahedra in R 3 using only algebraic computations for some angles, which have as a common vertex the Fermat-Torricelli point of the tetrahedron.

show abstract

“…Ο χαρακτηρισμός του σημείου FT για ισοσκελή τετράεδρα με ίσες βαρύτητες έχει μελετηθεί στην εργασία [52] κι έχει αφιερωθεί προς τιμή του Καθηγητή Στεφανίδη. Ο χαρακτηρισμός των λύσεων του προβλήματος FT για τετράεδρα στον R 3 έχει δοθεί στις [1] και [62]. Επιπλέον, στην [62] αναφέρεται και η ισογώνια ιδιότητα του σημείου FT για τετράεδρα με ίσες βαρύτητες.…”

Section: ανασκόπηση της βιβλιογραφίας των εξεταζόμενων αποτελεσμάτωνunclassified

Το πρόβλημα Fermat-Torricelli και ένα αντίστροφο πρόβλημα στο Κ-επίπεδο και σε κλειστά πολύεδρα του R^3

Zachos¹,

Ζάχος²

View full text Add to dashboard Cite

Το πρόβλημα Fermat-Torricelli για n μη συγγραμμικά σημεία με βαρύτητες στον R^3 (b.FT) διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντος n μη συγγραμμικών σημείων στον R^3 να βρεθεί ένα σημείο το οποίο ελαχιστοποιεί το άθροισμα των αποστάσεων με θετικές βαρύτητες του σημείου αυτού από τα n δοσμένα σημεία. Το αντίστροφο πρόβλημα Fermat-Torricelli για n μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία με βαρύτητες στον R^3 (αντ.FT) διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντος ενός σημείου που ανήκει στο εσωτερικό ενός κλειστού πολυέδρου που σχηματίζεται από n δοσμένα μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3, υπάρχει μοναδικά προσδιορίσιμο σύνολο τιμών για τις βαρύτητες που αντιστοιχούν σε κάθε ένα από τα n δοσμένα σημεία, ώστε το σημείο αυτό να επιλύει για τις τιμές αυτές των βαρυτήτων το πρόβλημα b.FT στον R^3; Στην παρούσα διατριβή, αποδεικνύουμε μία γενίκευση της ισογώνιας ιδιότητας του σημείου b.FT για ένα γεωδαισιακό τρίγωνο σε ένα Κ-επίπεδο (Σφαίρα, Υπερβολικό επίπεδο, Ευκλείδειο επίπεδο). Στη συνέχεια, δίνουμε μία αναγκαία συνθήκη για να είναι το σημείο b.FT εσωτερικό σημείο ενός τετραέδρου και ενός πενταέδρου (πυραμίδες) στον R^3. Η δεύτερη ομάδα αποτελεσμάτων της διατριβής περιλαμβάνει τη θετική απάντηση στο αντ.FT πρόβλημα για τρία μη γεωδαισιακά σημεία στο Κ-επίπεδο και στο αντ.FT πρόβλημα για τέσσερα μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3. Η αρνητική απάντηση στο αντ.FT για τέσσερα μη συγγραμμικά σημεία στον R^2 θα μας οδηγήσει σε σχέσεις εξάρτησης των βαρυτήτων που ονομάζουμε εξισώσεις της δυναμικής πλαστικότητας των τετραπλεύρων. Ομοίως, δίνοντας αρνητική απάντηση στο αντ.FT πρόβλημα για πέντε μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3, παίρνουμε τις εξισώσεις δυναμικής πλαστικότητας , διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε την αρχή της πλαστικότητας των κλειστών εξαέδρων στον R^3, που αναφέρει ότι: Έστω ότι πέντε προδιαγεγραμμένα ευθύγραμμα τμήματα συναντώνται στο σημείο b.FT, των οποίων τα άκρα σχηματίζουν ένα κλειστό εξάεδρο. Επιλέγουμε ένα σημείο σε κάθε ημιευθεία που ορίζει το προδιαγεγραμμένο ευθύγραμμο τμήμα, τέτοιο ώστε το τέταρτο σημείο να βρίσκεται πάνω από το επίπεδο που σχηματίζεται από την πρώτη και δεύτερη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία και το τρίτο και πέμπτο σημείο να βρίσκονται κάτω από το επίπεδο που σχηματίζεται από την πρώτη και δεύτερη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία. Τότε η μείωση της τιμής της βαρύτητας που αντιστοιχεί στην πρώτη, τρίτη και τέταρτη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία προκαλεί αύξηση στις βαρύτητες που αντιστοιχούν στη δεύτερη και πέμπτη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία.Τέλος, ένα σημαντικό αποτέλεσμα της διατριβής αφορά την επίλυση του γενικευμένου προβλήματος του Gauss για κυρτά τετράπλευρα στο Κ-επίπεδο, θέτοντας δύο σημεία στο εσωτερικό του κυρτού τετραπλεύρου με ίσες βαρύτητες, τα οποία στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι είναι δύο σημεία b.FT με συγκεκριμμένες βαρύτητες, αποτέλεσμα το οποίο γενικεύει το πρόβλημα b.FT για τετράπλευρα στο Κ-επίπεδo.

show abstract

On the Fermat-Torricelli Points of Tetrahedra and of Higher Dimensional Simplexes

Cited by 6 publications

References 3 publications

Geometrical aggregation of finite fuzzy sets

Geometrical aggregation of finite fuzzy sets

Location of the weighted Fermat–Torricelli point on the K-plane

Το πρόβλημα Fermat-Torricelli και ένα αντίστροφο πρόβλημα στο Κ-επίπεδο και σε κλειστά πολύεδρα του R^3

Contact Info

Product

Resources

About