On the cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields (II)

Abstract

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Modular curves over number fields and ECM

“…For the degree 2, this was studied in [32] and proved in [31]. High rank curves have been given in [1] for d = 2, [19,59,60,61] for d = 3, [20] for d ∈ {5, 6}.…”

On the cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields

“…The cases N = 55, 65, 77, 91, 143, 169 were proved in the first part [12] of this series of papers using refinements of a criterion originally due to Kamienny. The cases N = 22, 25, 40, 49 were proved in the second part [13] of this series of papers with the help of Kato's result about the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture on modular abelian varieties. In this paper, we prove the N = 39 case, which is Theorem 0.3.…”

“…Using the same method as that in [13] to show the finiteness of J 1 (N )(Q), we can verify that J 0 (N )(Q) is finite for certain N . For the 24 cases we are interested in, Table 2 is the result of calculations in Magma [6].…”