On Serre's conjecture for mod ℓ Galois representations over totally real fields

Abstract

Abstract. In 1987 Serre conjectured that any mod ℓ two-dimensional irreducible odd representation of the absolute Galois group of the rationals came from a modular form in a precise way. We present a generalisation of this conjecture to 2-dimensional representations of the absolute Galois group of a totally real field where ℓ is unramified. The hard work is in formulating an analogue of the "weight" part of Serre's conjecture. Serre furthermore asked whether his conjecture could be rephrased in terms of a "mod ℓ Langlands philosophy". Using ideas of Emerton and Vignéras, we formulate a mod ℓ local-global principle for the group D * , where D is a quaternion algebra over a totally real field, split above ℓ and at 0 or 1 infinite places, and show how it implies the conjecture.

F_p-représentations semi-stables

“…Dans les deux cas, on montre que l'on obtient encore des pylonets et que la restriction de T st aux objets maximaux correspondants est à nouveau exacte et pleinement fidèle. Soulignons que ces variantes interviennent de façon cruciale dans [18] pour étudier certains problèmes de modularité de représentations galoisiennes liés à la généralisation par Buzzard, Diamond et Jarvis de la conjecture de modularité de Serre (voir [8] pour l'énoncé de cette généralisation). Bien que n'étant pas logiquement nécessaire, il nous semble que le cadre théorique fourni par cet article éclaire de façon spectaculaire les calculs de [18], §3.4 (voir aussi [9] à ce sujet).…”

Diagrammes canoniques et représentations modulo p de GL2(F)

“…et la décomposition suivante de K : [7], où un poids désigne une représentation irréductible lisse de K. On peut classifier les poids à isomorphisme près (voir par exemple [3, proposition 1]).…”

Formes modulaires de Hilbert modulo $p$ et valeurs d'extensions entre caractères galoisiens

“…Une des premières tentatives aété de comprendre les représentations de GL 2 (O Fv ) apparaissant (à multiplicité près) dans le GL 2 (O Fv )-socle de cette partie ρ f -isotypique : dans [8], les auteurs donnent une liste conjecturale explicite de ces "poids de Serre" lorsque F v est une extension non ramifiée de Q p , conjecture qui vient d'être complètement démontrée par Gee et Kisin ([25], voir aussi le travailà venir de Newton). Cette liste ne dépend que de la représentation locale ρ f | Gal(Fv/Fv) (et même seulement de sa restrictionà l'inertie).À la suite de [8], des représentations lisses admissibles de GL 2 (F v ) sur F p avec les GL 2 (O Fv )-socles de [8] ontété construites dans [5] de manière purement locale en supposant ρ f | Gal(Fv/Fv) suffisamment générique.…”

“…Cette liste ne dépend que de la représentation locale ρ f | Gal(Fv/Fv) (et même seulement de sa restrictionà l'inertie).À la suite de [8], des représentations lisses admissibles de GL 2 (F v ) sur F p avec les GL 2 (O Fv )-socles de [8] ontété construites dans [5] de manière purement locale en supposant ρ f | Gal(Fv/Fv) suffisamment générique. Des résultats récents d'Emerton, Gee et Savitt ( [20]) (faisant suiteà des résultats partiels dans le cas de variétés de Shimura compactesà l'infini (cf.…”

“…Notons que l'on ne dispose pas ici a priori d'une factorisation de π D (ρ) "à la Flath" (bien que cela soit conjecturé, cf. [8,Conj.4.7] et le § 3.1), d'où la nécessité de définir soigneusement ce facteur local π D,v (ρ).…”